БИЛИМ БУЛАГЫ

Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений. Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причем, как указывает в нем автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.

Вот примеры задач из этого папируса.

1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».

В современном виде задача запишется так:

2) « сложено и отнята: остаток 10». В папирусе решению, задачу следует понимать так: к неизвестному прибавлено его и отнята полученной суммы; остаток 10; найти число. Задача в современном виде запишется так:  ; Ответ: х=9

3) У Диофанта также встречаются уравнения с одним неизвестным, например: «Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к меньшему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4». Задача приводит к уравнению:

4) В индийской рукописной арифметике VII и VIII века нашей эры, являющейся копией с более древней рукописи (III-IV века), имеется такая задача: «Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?» Получаем уравнение: В рукописи задача решается способом «ложного положения». (Этим способом пользовался и Л.Ф. Магницкий в своей «Арифметике».) «Если бы первый дал 1, то второй бы 2, третий 6, четвертый 24, а все вместе 33. Но всего было 132, то есть вчетверо больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше». Ответ: 4; 8; 24; 96.

Но общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми. В своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала» он дает два приема, применяемых при решении уравнений.

1) Прием «аль-джебр» заключается в том, что если имеются в уравнении отрицательные (вычитаемые) члены, то следует прибавить противоположные им члены к обеим частям уравнения, и тогда все члены будут положительными.

2) Прием «аль-мукабала» заключается в вычитании из обеих частей уравнения одинаковых членов, что приводит к его упрощению.

Например, дано уравнение: 5х-17=2х-5 Применим «аль-джебр»: прибавляем к каждой части уравнения 5 и 17. Получим: 5х+5=2х+17 Применим «аль-мукабала»: вычитаем из каждой части 2x и 5. Получим: 3х=12 Отсюда легко находится х. Появление этого замечательного сочинения аль-Хорезми можно считать началом выделения алгебры как самостоятельной, отдельной отрасли математики. Самое название «алгебра» взято из заглавия этого сочинения («Аль-джебр»).

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.

П р и м е р . Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности ) будет равно:

Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.

Пропорциональность. Это простейший вид функциональной зависимости. Различают прямую пропорциональность. (y = kx) и обратную пропорциональность ( y= k/ x). Напр., путь S, пройденный при равномерном движении со скоростью v, пропорционален времени t, т. е. S = vt ; прямо пропорциональна величина основания y прямоугольника с заданной площадью a обратно пропорциональна высоте x, т. е. y = a/ x.

Свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Каждому значению х соответствует единственное определенное значение у. (первое свойство прямой пропорциональной зависимости).

2. Отношение соответствующих значений величин у и х, связанных прямой пропорциональностью, равно коэффициенту пропорциональности.

3. Если две величины связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью, то при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Свойства обратной пропорциональной зависимости.

1. Каждому значению х (за исключением х=0) соответствует вполне определенное значение у.

2. Произведение соответствующих значений х и у равно коэффициенту обратной пропорциональности.

3. Если х увеличивается (уменьшается) в несколько раз, то у уменьшается (увеличивается) во столько же раз, так как их произведение остается неизменным.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618 ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.

Применение «золотого сечения».

У древних основу составляла теория пропорций. Отношение размеров частей человеческого тела связывалось с формулой «золотого сечения». Скульпторы утверждают, что талия делит человеческое тело (образцом которого является Апполон Бельведерский) в отношении «золотого сечения». а:х=1,618.

Окружающие предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длинны, близкое к 0,618.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

Полезные ссылки

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления. http://simple-math.ru/arithmetics/ratio-proportion.php

Глоссарий

Уравнение - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Переменные - атрибут системы, который меняет свое значение. Они обозначаются буквами, например, х, а, b, с...

Библиография

• Видеоурок на тему «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti.html
• Видеоурок на тему «Пропорции» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Proportsii.html

В начало

Это Интересно

П

ропорция применяется везде!

Например:

1. Пропорция в физике.

С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага.

2. Пропорция в географии. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

3. Пропорция в музыке. Музыкой греки называли ту часть арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки создали и научную теорию. Музыки. Они знали: чем «длиннее» натянутая струна, тем «ниже» получается звук, который она издает; что короткая струна издает высокий звук. Однако у музыкального инструмента не одна, а несколько струн, и для того, чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длина звучащих частей их должна быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя струнами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным образом квинте соответствует отношение 2:3, кварте-отношение 3:4 и т.д.

4. Пропорции в архитектуре Пропорции в архитектуре – это ее внутренняя красота. ПАРФЕНОН, храм Афины Парфенос на Акрополе в Афинах, памятник древнегреческой высокой классики. Мраморный дорический периптер с ионическим скульптурным фризом (447-438 до н. э., архитекторы Иктин и Калликрат) замечателен величественной красотой форм и пропорций. Статуи фронтонов, рельефы метоп и фриза (окончены в 432 до н. э.) созданы под руководством Фидия. Разрушен в 1687; частично восстановлен. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618.

5. Пропорции в скульптуре. АПОЛЛОН БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ, статуя Аполлона — мраморная римская копия бронзового оригинала работы древнегреческого скульптора Леохара (ок. 330-320 до н. э., Музей Пио-Клементино, Ватикан). Название от ватиканского дворца Бельведер, где выставлена статуя. Долгое время считалась вершиной греческого искусства. На рисунке представлена статуя Аполлона Бельведерского, разделенная в отношении (точка С делит отрезок АD, точка В делит отрезок АС)

Стихотворение

Есть у пропорции правило главное

Все его знать и запомнить должны

Средние члены умножишь и крайние

Будут всегда эти числа равны.