Математика: Арифметические действия над десятичными дробями
Вычисления с простыми дробями становятся очень громоздкими, если знаменатели их сколько-нибудь велики. Главное затруднение состоит в приведении дробей к общему знаменателю; оно вытекает из того, что знаменатели могут быть любыми числами, в выборе которых нет никакой системы. Поэтому уже в древности пришли к мысли выбирать не произвольно, а систематически доли единицы, которые в простых дробях играют роль знаменателей.
Древнейшими систематическими дробями, употреблявшимися в Вавилоне за 4000 лет до нашего времени и перешедшими через древнегреческих астрономов к астрономам Западной Европы, были шестидесятеричные дроби. В конце XVI в., когда сложные вычисления с дробями стали широко применяться во всех областях жизни, стали входить в употребление другие систематические дроби: десятичные. В них единица делится на десять долей (десятые), каждая десятая доля снова на десять долей (сотые) и т. д. Преимущество десятичных дробей перед другими систематическими состоит в том, что они основаны на той же системе, на которой построены счет и запись целых чисел. Благодаря этому и запись, и правила действий с десятичными дробями по существу те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет нужды обозначать наименование долей (знаменатель); это наименование узнается по месту, занимаемому соответствующей цифрой. Сначала записывается целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых (т. е. десятых долей единицы), вторая — сотых, третья — тысячных и т. д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.
Рассмотрим, как выполняются арифметические действия над десятичными дробями.
При сложении и вычитании десятичных дробей поступают следующим образом:
1. При необходимости уравнивают количество знаков после запятой, добавляя справа нули к соответствующей дроби, что, согласно основному свойству десятичных дробей, не влияет на величину дроби.
2. Записывают дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом (или, что, то же самое, разряд под разрядом).
3. Сложить/вычесть, не обращая внимания на запятую, как целые числа. Складываем по одной цифре, начиная с самого крайнего правого разряда и двигаясь влево к следующему.
4. Поставить запятую в сумме/разности под запятыми, складываемых/вычитаемых дробей.
Умножение десятичных дробей.
Чтобы умножить одно десятичное число на другое, необходимо перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить справа столько десятичных знаков, сколько их было вместе в обоих сомножителях. Обрати внимание, на рисунке показано, как правильно записывать умножение «столбиком».
Примечание. До постановки запятой отбрасывать нули нельзя!
Деление десятичных дробей.
Для деления десятичной дроби на натуральное число придерживаются следующего алгоритма: Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимание на запятую. Ставим в полученном частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого. Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых. На рисунке показана запись деления «уголком».
Замечание. Возможно, что описанный процесс деления никогда не закончится. В таком случае частное нельзя точно выразить десятичной дробь, но остановившись на некоторой цифре, получим приближенный результат.
Из вышесказанного можно сказать, что десятичные дроби - это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить. Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит ваш успех. Несомненно, вы знаете, как все это делать, но на всякий случай, для удобства действий над дробями предлагаем запомнить основные свойства десятичных дробей. Они очень простые, мы собрали их в небольшую памятку. Скачайте, распечатайте и пользуйтесь!
Глоссарий
Целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им числа и нуль
Полезные ссылки
Среди десятичных дробей особенно часто на практике используется дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается 1 %. Понимание и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого. Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без этого понятия нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке или взять кредит, нас интересует размер процентных начислений на сумму вклада и процент по кредиту. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, и т.д. – всё это проценты. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты. Более подробно о том, как решать такие задачи, узнать можно здесь: http://www.seznaika.ru/matematika/ege/114-2009-12-06-18-08-29
Комикс – это сильно сказано. Новая книга всемирно знаменитого карикатуриста Ларри Гоника, изучавшего и преподававшего математику в Гарвардском университете, представляет собой интенсивный курс алгебры, охватывающий ряд основных тем школьной программы. С живым юмором автор делает экскурс в историю алгебры и приводит многочисленные примеры практического применения «царицы наук» в современной жизни. Уникальная способность Гоника преподносить сложный материал весело, интересно и легко для восприятия, да еще и в безупречно ясном, структурированном виде, делает эту книгу отличным пособием для школьников, а также для всех желающих поддержать в форме свои математические способности. http://mathlife.ru/algebra
Примеры
Библиография
- М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Москва 1986.
- Задачи на проценты. : [Электронный ресурс] // «Сёзнайка.ру», 2015. URL: http://www.seznaika.ru/matematika/ege/114-2009-12-06-18-08-29 (дата обращения: 20. 11. 2017)
- Дроби: история дробей. История возникновения обыкновенных дробей.: [Электронный ресурс] // «ФБ», 2017 URL: http://fb.ru/article/236507/drobi-istoriya-drobey-istoriya-vozniknoveniya-obyiknovennyih-drobey (дата обращения: 20. 11. 2017)
- Алгебра. Естественная наука в комиксах. Ларри Гоник.:[Электронный ресурс] //Братчикова Надежда Владимировна, 2016-2017. URL:http://mathlife.ru/algebra . (дата обращения: 20. 11. 2017)
есятичные дроби впервые появились в Китае. В Поднебесной империи их стали использовать примерно с III века до нашей эры. История десятичных дробей началась с китайского математика Лю Хуэя, предложившего использовать их при извлечении квадратных корней.
В III веке нашей эры десятичные дроби в Китае стали применяться при расчете веса и объема. Постепенно они все глубже начали проникать в математику. В Европе, однако, десятичные дроби стали использоваться гораздо позже. Независимо от китайских предшественников десятичные дроби открыл астроном аль-Каши из древнего города Самарканда. Жил и трудился он в XV веке. Свою теорию ученый изложил в трактате «Ключ к арифметике», увидевшем свет в 1427 году. Аль-Каши предложил использовать новую форму записи дробей. И целая, и дробная часть теперь писались в одной строке. Для их разделения самаркандский астроном не использовал запятую. Он писал целое число и дробную часть разными цветами, используя черные и красные чернила. Иногда для разделения аль-Каши также применял вертикальную черту.
Новый вид дробей начал появляться в трудах европейских математиков с XIII века. Нужно заметить, что с трудами аль-Каши, как и с изобретением китайцев они знакомы не были. Десятичные дроби появились в трудах Иордана Неморария. Затем их использовал уже в XVI веке Франсуа Виет. Французский ученый написал «Математический канон», в котором содержались тригонометрические таблицы. В них Виет использовал десятичные дроби. Для разделения целой и дробной части ученый применял вертикальную черту, а также разный размер шрифта. Однако это были лишь частные случаи научного использования.
Для решения повседневных задач десятичные дроби в Европе стали применяться несколько позже. Произошло это благодаря голландскому ученому Симону Стевину в конце XVI века. Он издал математический труд «Десятая» в 1585 году. В нем ученый изложил теорию использования десятичных дробей в арифметике, в денежной системе и для определения мер и весов.
Стевин также не пользовался запятой. Он для ясности указывал над каждой цифрой (или после неё) заключённый в кружок её номер разряда. Впервые запятая разделила две части десятичной дроби только в 1592 году. В Англии, однако, вместо нее стали применять точку. На территории США до сих пор десятичные дроби пишут именно таким образом. Одним из инициаторов использования обоих знаков препинания для разделения целой и дробной части был шотландский математик Джон Непер. Он высказал свое предложение в 1617 году. Запятой пользовался и немецкий ученый Иоганн Кеплер.
Порой бывает, учишь-учишь, а правила никак не запоминаются. Предлагаем небольшие стихотворения, которые помогут справится с умножением и делением десятичных дробей.
Попробуйте ответить правильно на пять вопросов: