Математика: Действия над натуральными числами
Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Только в результате двух действий получаются также натуральные числа. Это сложение и умножение.
Свойства арифметических действий
Действия сложения, вычитания, умножения и деления называют арифметическими действиями. Они обладают следующими свойствами.
Содержание
Свойства сложения
1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
a + b = b + a.
В этом равенстве a и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.
2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
В буквенном виде:
(a + b) + c = a + (b + c)
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто a + b + с.
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.
3. Свойство нуля при сложении
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
a + О = О + a = a.
Свойства вычитания
1. Свойство вычитания суммы из числа Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) – c или a − (b + c) = (a − с) – b.
2. Скобки в выражении (a − b) − c не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b – c.
3. Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
4. Свойство нуля при вычитании Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − О = a.
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = О.
Свойство умножения
1. Переместительное свойство умножения От перестановки множителей произведение не меняется.
a • b = b • a
2. Сочетательное свойство умножения Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
a • (b • c) = (a • b) • c.
3. Свойство нуля при умножении Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
a ∙ О = a,
О • a • b • c = О.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
(a + b) • c = a • c + b • c
Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.
(a + b + с + d) • k = a • k + b • k + c • k + d • k.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
1. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе. В буквенном виде свойство записывается так:
(a − b) • c = a • c − b • c
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Свойство деления
1. Ни одно число нельзя делить на ноль.
2. При делении нуля на число получается ноль.
О : a = О
3. При делении любого числа на 1 получается это же число.
b : 1 = b
4. Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
a : b = (a • k) : (b • k), где k — любое натуральное число.
Полезные ссылки
А знаете ли вы, что раньше за незнание математики, человека могли просто уволить с работы? Нет?! Тогда стоит посмотреть передачу об истории возникновения таблицы умножения. Профессор рассказывает об интересном методе умножения в Древнем Египте, знакомит с «пальцевым» способом умножения на девять. Кроме того, проводится связь между геометрией и строительством пчелиных сот. Весёлая задачка посвящена умножению. https://www.youtube.com/watch?v=vcKD1SURjfg
Глоссарий
Действие – это математический процесс, в котором по некоторому правилу и двум данным числам определяют третье число.
Примеры в несколько действий
Примеры могут включать различные действия. Существуют определенные правила, которых придерживаются, когда имеют дело с примерами в несколько действий.
Если пример включает только сложение и вычитание, порядок действий не имеет значения. Однако важно помнить, что знак «+» или «-» применим только к числу, стоящему непосредственно перед ним.
Например, 7 – 5 + 10. Это то же самое, что 7 + 10 – 5 или – 5 + 7 + 10.
Если имеются еще какие - либо действия, используется определенный порядок выполнения.
Порядок выполнения действий в выражениях
В выражениях, содержащих различные действия, сначала выполняется действие в скобках, затем последовательно по уменьшению старшинства: возведение в степень – деление – умножение – сложение – вычитание.
Например, найдем значение выражения:
Библиография
- Приемы быстрых вычислений. Штраус А. П.: [Электронный ресурс] // metod-kopilka.ru 2007-2017 URL: https://www.metod-kopilka.ru/priemi-bistrih-vichisleniy-61445.html. (дата обращения: 20.11.2017)
- Системы измерения и счет у кыргызов.: [Электронный ресурс] //Open.kg Открытый Кыргызстан. URL: https://www.open.kg/about-kyrgyzstan/culture/ethnography/1970-sistemy-izmereniya-i-schet-u-kyrgyzov.html . (дата обращения: 20.11.2017)
- Видео «Как научиться быстро считать в уме?: [Электронный ресурс] // Простая математика YouTube, 2017. https://www.youtube.com/watch?v=hEVPZy4xaVQ. (дата обращения: 20.11.2017)
- Математика 51. История таблицы умножения в древнем Египте — Академия занимательных наук.: [Электронный ресурс] //Академия Занимательных Наук YouTube, 2017. https://www.youtube.com/watch?v=vcKD1SURjfg . (дата обращения: 20.11.2017)
- В.А. Гусев, А.Г. Мордкович Математика. Справочные материалы М.: Просвещение, 1988.
- Математика : Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,М.С. Якир. — Москва : АСТ, 2017. — 447,[1] с.
- Кроссворды для школьников. Математика. Мантуленко В.Г., Гетменко О.Г. –Ярославль: «Академия развития», 1998. – 144 с.
Потребность в измерении и счете родилась у кыргызов в условиях относительно высокоразвитого их общественного производства и социальной дифференциации общества. В киргизском народе до сих пор своеобразно уживаются несколько систем счета, что свидетельствует о различных их источниках.
Были известны четыре арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Нечетное число они называли алым эсеп, а четное — туюк эсеп. Эти элементарные математические знания были необходимы им в практической жизни.
В национальной игре ордо (эмоциональная игра у взрослых кыргызов, воспроизводящая бой за захват ханской ставки), в детской игре в альчики математические действия сложения, умножения в уме производили с помощью понятия бирдин учу — пять; бирдин учу — пять альчиков, бирдин учу бир — шесть альчиков, бирдин учу эки — семь альчиков, экинин учу — десять альчиков, экинин учу торт — четырнадцать альчиков, бештин учу — двадцать пять альчиков, кырктын учу — двести альчиков.
Древняя игра кыргызов «Тогуз кумалак» или «Тогуз коргоол» (десять маленьких орешков или фишек) представляет собой деревянную доску с 18 маленькими лунками (в каждой по 9 фишек) для непосредственной игры и большими лунками для выигранных фишек (орешков):
Он сегиз энеси бар.
Бир жуз алтымыш эки баласы бар.
Имеет двух отцов,
Имеет восемнадцать матерей
И детей - сто шестьдесят два
Процесс игры заключался в следующем: два партнера поочередно раскладывали фишки по кругу. Выигранные фишки собирали в свои кассы-лунки. Игра требовала от каждого играющего большой воли и усидчивости, а главное огромного умственного напряжения. В процессе игры соперники в уме молниеносно вычисляли следующий ход или замысел своего соперника, при этом используя все четыре арифметических действия одновременно.
Расчет и тактика игроков заключались в том, что каждый из них не должен сделать ошибочного хода и тем самым дать возможность другой стороне собрать большое количество фишек. Кто из двух играющих соперников обладал аналитическим умом и тактикой хитроумных ходов, тот и становился победителем.
Другая, более сложная чем «Тогуз кумалак» игра древних кыргызов именовалась «Чатыраш»:
Всего их будет тридцать две.
В народе существует версия, что эту очень сложную игру кыргызов в прошлые века усовершенствовали индийцы и создали шахматы в сегодняшнем понимании. Поэтому участие в этой интеллектуальной игре принимали в основном взрослые люди и особенно ханы, беки, аскер башчылар — военачальники, эсепчи.
Как научится быстро считать?
Вы спросите, зачем такие сложности? Ведь есть калькулятор в мобильном телефоне. Да, без проблем, но представьте ситуацию, телефон разрядился, или вы не хотите показаться глупым человеком в магазине и хотите правильно получить сдачу? Тогда предлагаем посмотреть видео сюжет, где раскроют секреты, как научится быстро считать.
Что такое кроссворд? Кроссвордом принято называть интеллектуальную игру со словами. Она помогает развивать память, учит культуре мышления и искать недостающую информацию. Во время разгадывания кроссворда вы закрепляете полученные знания, а также у вас работает деятельное запоминание, что помогает эффективно усвоить материал.
Итак, вписав все слова, в клетки по вертикали, вы получите название арифметического действия над числами.
Веками народ создавал мудрые изречения – пословицы и поговорки. В них из поколения в поколение передавались главные мысли о жизни. А использование чисел в поговорках и пословицах отражает развитие цифрового счета у людей с древних времен. Зачастую пословицы с числами имеют особое значение, так как каждая цифра обозначала ранее некое сакральное понятие.
В пословицах могут встречаться самые разные числа, но чаще всего фигурируют цифры от 1 до 9. Их значение может быть самым разным и характеризовать конфликтные ситуации. Типичным примером служит такое изречение: «один в поле не воин». Оно показывает, что каким бы ни был умелым и сильным человек, с проблемой он сможет справиться только при помощи кого-то еще.
Предлагаем вашему вниманию самые распространенные пословицы и поговорки с числами. Подумайте, какой смысл они несут.
