Математика: Көлөм
Содержание
Телолордун көлөмүн изилдөө тарыхы
Болжолдуу түрдө байыркы жашоочулардын цивилизациясында ар кандай фигуранын аянтын эсептегенди үйрөнүү мезгилинде эле кошо көлөмдү да эсептөө зарылчылыгынан келип чыкса керек. Бул маселе биринчи кезекте соода-сатык жана курулуштун өнүгүүсү менен байланышта болгон. Математиканын өнүгүүсү менен кошо б.з.ч. IV кылымда эскерүүлөрдө кездештирилген өзүнчө багыт – стереометрия (тегиздиктеги фигураларды окуп-үйрөткөн геометриянын бөлүмү) пайда болгон.
Египтеттиктер бул илимди чарбачылыктын ар кандай иштери болгон: сугатка пайдаланчуу каналдарды курууда, эбегейсиз ибадаткана жана пирамидаларды курууда, гранит таштан белгилүү сфинкстерди кесүүдө колдонушкан.
Биздин заманга чейинки жеткен папирустардагы геометриялык маалыматтарга таянсак, дээрлик көпчүлүгү аянтты жана көлөмдү эсептөөгө карата маселелерди камтыган. Аларда египеттиктер узундукту, аянтты жана көлөмдү эсептөө үчүн колдонгон эч кандай көрсөтмөлөр жок; анда жакындаштырылган эрежелерди көбүрөөк колдонушканын билүүгө болот. Египеттиктердин геометриясынын жогорку жетишкендиги катары “Москвадагы папирустарда” баяндагандай, негизи квадрат болгон кесилген пирамиданын көлөмүн эсептөөнү айтса болот.
Ар түрдүү телолордун көлөмүн эсептөөчү формуланы табуу узак мезгилдерди талап кылган. Вавилондук балбалташ таблицасында байыркы египеттик папирустарда көрсөтүлгөндөй кесилген приамиданын көлөмүн табуу эрежелери кездешет. Байыркы гректиктер призма, приамида, цилиндр жана конустардын көлөмдөрүн таба билүүнү Архимедке чейин эле өздөштүрүшкөн. Арийне, каалагандай аянтты жана көлөмдү аныктоонун жалпы ыкмасын ал гана билген. Архимеддин идеясы интегралдык эсептөөнүн негиздеринде жаткан. Окумуштуунун өзү дээрлик антикалык математикада каралган баардык телолордун аянты жана көлөмүн өзүнүн ыкмасынын жардамы менен аныктап чыккан. Архимеддин көрүстөнүндөгү плитада окумуштуу өзү жазып калтыргандай, шардын ичиндеги цилиндрдин тартылган сүрөтү жана анын астында жазылган бул телолордун көлөмү 3:2 катышында болот деген өтө улуу Архимеддин ачылышы катары баяндалат. Вавилондук жана байыркы египеттик архитектуралык эстеликтерде куб, параллелипипед, призма сыяктуу геометриялык фигуралар кездешет. Египеттик жана вавилондук геометрияда маанилүү маселелер болуп, мейкиндиктеги ар түрдүү фигуралардын көлөмүн аныктоо болгон. Бул маселелер үй, сарай, ибадаткана жана башка курулуштарды куруу зарылчылыгын аныктаганга жооп таап берген. Куб, призма жана цилиндр түрүндөгү буудай кампаларынын көлөмүн египеттиктер жана вавилондуктар, кытайлыктар, индиялыктар негизинин аянтын бийиктигине көбөйтүү жолу аркылуу аныкташкан. Арийне, байыркы Чыгышка гана тажрыйбалуу жол менен табылган өзүнчө эреже белгилүү болгон. Кийинчерээк гана көп грандыктардын көлөмүн эсептөөчү жалпы мамиле белгилүү болгон.
Бизди курчап турган айлана-чөйрөдөгү баардык телолор көлөмгө ээ. Күнүмдүк жашообузда биз ар түрдүү форма жана көлөмдөгү телолор менен кездешебиз. Айталы, чакага 10 литр суу батат. Бул дегендик, чаканын көлөмү – 10 литр. Башка мисал: бакчадагы үйдү курууга 20 метр куб жыгач керектелет. Белгилүү болгондой, бул мисалдарда көлөм кандайдыр бир сан менен туюнтулат, бирок ар түрдүү бирдиктерде, айталы, бир учурда литр менен, а башкасында кубдук метр менен. Көлөмдүн ар түрдүү бирдиктеринде ар кандай сандар менен туюнтулат.
Илгери ар түрдүү элдердин өздөрүнүн өлчөөнүн чендери болгон. Айталы, Киевдик Руста дан-эгиндер ченин – кадь менен ченешкен, ал 230 кг барабар. Суюктукту челек жана чака менен ченешкен. XIX кылымда чен системасы төмөнкүчө болгон: 1 челек = 40 чакага, 1 чака = 10 чоң кесе (идиш), 1 чоң кесе (идиш) = 2 бөтөлкө, 1 бөтөлкө = 10 чыны.
Байыркы кыргыздардын көлөмдүн ченөө бирдиктери
Биздин өлкөнүн өзүнүн ченөө бирдиктери болгон. Эндей телолордун көлөмүн табууда үй-тиричилик буюмдарын пайдаланышкан. Эндей жана суюк телолордун көлөмүн төмөндөгүчө аныкташкан: кыпындай, таруудай, тырмактын агындай, бир чьшчым, бир ууч, бир кочуш, бир кашык, бир аяк. Дыйкандар көлөм жана салмакты байс бирдиги менен ченешкен. Анын салмагы 100 данга барабар болгон, а 100 байс 3 килограмм данга барабар болгон. Дыйкандар данын карызга бергенде же сатканда мындайча эсептешкен: 200 байс 6 кг дан болгон, аны бирдик катары кабыл алып чакс деп аташкан, андан чоңураак салмак чени катары 2 чакс – бир нимшек же 12 килограмм, бир шимек – 4 чакс же 48 килограммды түзөт. Данды көпчүлүк учурда жөнөкөй ыкма менен эсептешкен: 100 же 200 байс данды алышкан, аны бир идишке салышкан да аны түбүнөн манжанын элиси менен ченешкен. Бул учурда ченөө процесси тезирээк болгон, бирок тактык кыйла алыс болгон.
Дандын санын кап менен да ченешкен. Эң чоң кап тайдын бою менен тең болуп, аны тай кап дешкен; анын сыйымдуулугу бир батманга же 12 пудга барабар болгон. Элдик эпостордо баатырларды бир отурумда бир батман данды жеп койгон деп эскерилет:
Нан жыттанып алп Жолой
Көлөм деген эмне
Көлөм – мейкиндиктеги телонун же нерсенин ээлеген ордунун сандык мүнөздөмөсү. Телонун көлөмү же сыйымдуулуг анын формасы жана сызыктуу өлчөмү аркылуу аныкталат. Көлөм түшүнүгү кутуга салынган идиштин ички мейкиндигинин сыйымдуулугунун көлөмү менен байланышкан ж.б.
Формулада көлөмдү белгилөө үчүн V латын баш тамгасы колдонулат, ал латындан которгондо volume — «көлөм», «толтуруу» дегенди түшүндүрөт.
Көлөмдү ченөө бирдиги катары кесиндини ченөө бирдигине барабар болгон куб колдонулат. Бул кубдук миллиметр, кубдук сантиметр, куюбдук дециметр, кубдук метр же кубдук килеометр болуп эсептелинет. Көпчүлүк учурда суюктуктун көлөмүн ченөө бирдиги катары 1 литр колдонулат. Бил бирдиктен башка бирдикке которуу үчүн төмөндөгү которуу схемасы келтирилген:
Көлөмдүн касиеттери
Көлөм төмөндөгүдөй касиеттерге ээ:
1. Телонун көлөмү терс эмес сан;
2. Бирдей телолор бирдей көлөмгө ээ;
3. Эгерде тело бир нече курамдан түзүлсө, анда анын көлөмү ал түзгөн телолордун көлөмдөрүнүн суммаларына барабар
Үчүнчү касиетке ылайык, тик бурчтуу параллелипипеддин көлөмүн табуу үчүн аны, кырлары ченөө бирдигине барабар болгондой кылып кубдарга бөлүү керек. Бирок мындай ыкма көлөмдү ченөөгө ыңгайсыз болот, ошондуктан тик бурчтуу параллелипипеддин көлөмүн бул формуланы колдонсо болот V=abc. Башка геометриялык фигуралардын көлөмүн табуу бир аз кыйынчылыкты жаратат. Ага карабай жашоодо математикалык маселелерди чечүүдө муну билүү керек. Адам баласы өзүнүн жашоосунда дайыма көлөмдү табууга карата ишмердикти жолуктурбай койбойт, айталы, кандайдыр бир тетикти даярдоодо же ар кандай курулуштарды курууда. Көптөгөн курулук объектилери, конструкциялык тетиктери жана башка предметтердин баары геометриялык телолор болуп саналат: параллелипипед, призма, цилиндр, шар формада.
Көлөмдү табуудагы формулалар
Геометриялык телолордун көлөмүн табуудагы такай колдонууга ээ болгон формулалардын таблицасын мисал катары келтиребиз. Кагазга чыгарып алып колдонгула!
Глоссарий
Геометриялык тело – бул Евклиддин “Башталышында” “узундукка, туурасына жана тереңдикке ээ”, а элементардык геометриянын окуу китебинде – “өзүнүн формасына ээ болгон чектелген мейкиндиктин бир бөлүгү”.
Көп грандуулук – чектелген сандагы тегиздиктеги көп бурчтуктун каалагандай жанаша жаткан экөө бир тегиздикте жатпаган геометриялык тело эсептелинет. Ал бурчка, чокуга, кырларына жана каптал бетке ээ.
Конус – бул конустун негизи – тегерек болгон, чекити бул тегеректин тегиздигинде жатпаган – конустун чокусу жана конустун чокусу менен негизи айлана болгон баардык кесиндилери менен бириктирүүчү тело. Натыйжада тик бурчтуу үч бурчтукту бир катетинин айланасында айландыруунун негизинде алынат.
Куб – бул кырлары бирдей болгон тик бурчтуу параллелепипед.
Параллелепипед – бул негизи параллелограмм болгон төрт бурчтуу призма.
Пирамида – бул пирамиданын негизи болгон көп бурчтуктан түзүлгөн жана үч бурчтуктары жалпы чокуга ээ болгон пирамиданын каптал беттери болгон көп грандуулук.
Призма – бул үстү жагы эки бирдей көп бурчтуктан жана параллелограмдардан турган жана ар биринин негизи жалпы жактарына ээ болгон көп грандык.
Айлануу телолору – бул түз сызыктын айланасында айрым фигураларды (демейде тегиз) айлантуу натыйжасында пайда болгон геометриялык тело.
Цилиндр — эки тегеректи жарыш которуудан жана бул тегеректердин тиешелүү чекиттерин туташтыруучу баардык кесиндилерден турган жылдыруу. Тегеректер цилиндрдин негизи, а тегеректердин тиешелүү чекиттерин туташтыруучу кесиндилер – цилиндрди түзүүчүлөр деп аталат. Натыйжада тик бурчтуктун тир жагын айландырууда пайда болгон тело.
Шар – бул берилген чекиттен бирдей аралыктагы баардык чекиттердин мейкиндигинен турган тело. Бул чекит шардын борбору деп, а берилген аралык – шардын радиусу деп аталат. Натыйжада жарым тегеректи диаметри аркылуу айландырууда пайда болгон тело.
Пайдалуу шилтемелер
“Өз алдынча билим алуу” долбоору тиги же бул илимий чөйрөдөгү атайын даярдыктагы жок, адам баласы кабыл алууга ыңгайлуу болгон кыска жана түшүнүктүү формада билимдерди жана түшүнүктөрдү калыптоо үчүн кызмат аткарат. Бул жерде БМЭ боюнча мурунку жылдардагы математикалык профилинин деңгээлдеги маселелердин ачык банкынын тапшырмалары коюлган. Ал өзүңөр үчүн кызыгууну жараткан темалар боюнча каталогдорду тез тандаганга мүмкүнчүлүк берет. Билимге карай, чамда! [Электрондук ресурс] // Самообразование. URL: http://self-edu.ru/math_egecats.php (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
Бул жерден силер көптөгөн керектүү жана пайдалуу формулаларды, таблицаларды жана сурап-билүү маалыматтарды табасыңар. А онлайн калькулятор болсо көлөмдөрдү эсептөөгө жардам берет. Эсептөө үчүн керектүү сандардын берилиштерин киргизгиле. Эсептөөнү миллиметр, сантиметр жана метр менен жүргүзөт. Жыйынтыгын кубдук сантиметр, литр жана кубдук метрде чыгарып берет. Байкап көрөлүбү? [Электрондук ресурс] // mozgan.ru. URL: http://mozgan.ru/Geometry#block1(кайрылуу датасы: 20.11.2017)
Библиография
- ЕГЭ математика. Профилдик деңгээл. Тема боюнча берилген каталог : [Электрондук ресурс] // Самообразование. URL: http://self-edu.ru/math_egecats.php (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
- Мозган Онлайн калькулятор. : [Электрондук ресурс] // mozgan.ru. URL: http://mozgan.ru/Geometry#block1 (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
- Кыргыздардагы ченөө жана эсептөө системалары.: [Электрондук ресурс] //Open.kg Ачык Кыргызстан. URL: https://www.open.kg/about-kyrgyzstan/culture/ethnography/1970-sistemy-izmereniya-i-schet-u-kyrgyzov.html . (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
- Көлөмдү кантип эсептейт – эсептөөнүн формуласы : [Электрондук ресурс] // «ФБ», 2017. URL: http://fb.ru/article/143418/kak-poschitat-obyem---formulyi-rascheta (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
- Геометриялык фигуралар жана телолор жөнүндө ыр түрүндө табышмактар : [Электрондук ресурс] //Абадий долбоор "Ковдория" 2007 - 2012 URL: http://igri-uma.ru/forum/index.php?showtopic=3936 (кайрылуу датасы: 20.11.2017)
өлөмдү аныктоого карата ар түрдүү колдонмо тапшырмалар
Көйгөйгө келели: ташылынган жүктүн көлөмүн кантип эсептейбиз. Жүк кандай болот:таңгакталганбы же эндейби? Калыптын параметрлери кандай? Жоопторго караганда суроолору көбүрөөк. Жүктүн массасы тууралуу суроо негизги суроолордун өзөгүн түзөт, анткени унаа жүк көтөрүмдүүлүгү менен, ал эми жол болсо – унаа каражаттарынын салмагы менен айырмаланат. Жүк ташуучунун эрежени бузуусу айып тартуу коркунучун жаратат.
Көлөмдү аныктоо маселеси курулушта да маанилүү ролду ойнойт. Үйлөрдү башка имараттарды куруу – коромжулукка алып келчү иш, курулуш материалдарын өтө тыкаттык менен эсептөөнү талап кылат. Маселенинин негизи – пайдубалы-бетон менен толтурулган куйма конструкцияны элестетет. Алгач бетондун көлөмүн эсептөөдөн мурун пайдубалдын түрүн аныктоо зарыл. Плита пайдубалы – плита түрүдөгү тик бурчтуу параллелипипед. Мамычалуу негизи – белгилүү кесилиштеги тик бурчтуу же цилиндрдик мамыча. Бир мамычанын көлөмүн аныктоо менен жана аны санына көбөйтүп, бүт пайдубалдагы бетондун кубатырасын аныктоого болот. Дубал же шып үчүн бетондун көлөмүн эсептөөнү жөн эле жүргүзсө болот: бүт дубалдын көлөмүн узунун туурасына жана аны бийиктигине көбөйтүү менен аныктап, андан соң терезе жана эшиги бар жактарын өзүнчө аныктап. Дубалдын көлөмүнүн айырмасын жана терезе жана эшиги бар тараптын суммасы – бетондун көлөмү болот.
Айрым колдонмо маселелер имараттын жана курулуштун көлөмү жөнүндөгү билимдерди талап кылат. Ага ремонттоо, кайра конструкциялоо, абанын нымдуулугун аынктоо, жылуулук жана желдеткичке байланышкан суроолор тиешелүү. Имараттын көлөмүн эсептөөдөн мурун анын сырткы тарабына ченөө жүргүзүү керек: кесилиштердин аянттары (узунун туурасына көбөйтүп), имараттын биринчи кабаттын ылдый жагынан чатырына чейинки бийиктиги. Жылуулук бөлмөнүн ички көлөмү ички айлантмасы боюнча аныкталат.
Заманбап батирлерди жана кеңселерди жылуулук системасын элестетүү мүмкүн эмес. Системанын негизги бөлүгү болуп батарейкалар жана туташтыруучу түтүктөр эсептелинет. Жылуулук системасынын көлөмүн кантип эсептөөгө болот? Радиатордун өзүндө көрсөтүлгөн жылуулук секияларынын жалпы көлөмүн түтүктөрдүн көлөмүнө кошобуз. Бул этапта бул көйгөй: түтүктүн көлөмүн кантип эсептөө келип чыгат. Элестетели, түтүк – цилиндр, чыгарылышы өзү эле келет: цилидрдин көлөмүн табуу формуласы аркылуу. Жылуулук системада түтүк суу менен толтурулат, ошондуктан түтүктүн ички кесилишин билүү керек болот. Ал үчүн анын ички радиусун аныкташ керек. Тегеректин аянтын аныктоо формуласы геометрия курсунан белгилүү. Бөлөмөдөгү түтүктүн жалпы көлөмү анын созулган узундугу боюнча аныкталат.
Суроо: «Эмнеге татаал табышмактар адамдар үчүн коркунучтуу?»
Жообу: «Себеби, анын үстүнөн адамдар баштарын катырышат.»
Табышмакты жандыруу – өтө кызыктуу. Ал ойлонгонго жана талдаганга үйрөтөт эмеспи, дүйнө таанымын жана сөз байлыгыңды кеңейтет. Табышмактар ой-жүгүртүүнү, логиканы, эсти эң сонун өнүктүрөт. Жана да аны эч кыйноо менен эмес оюндун аркасы менен. Жандырмагын табуу абдан көңүлдүү жана кызыктуу эмеспи! Демек, мындай абалда ойлонуу оор, дароо мисал келтирели, аны көрүү үчүн анча-мынча күтө туруу керек.
Көпчүлүгүңөр айтасыңар, геометриялык формулаларды практикада кантип колдонобуз, эгер аларды эске тутуп калуу өтө кыйын болсо, а айрымдарыңар үчүн тамга жана санариптердин тизмеги деп. Буга эске тутуу техникасы жардам берет: ар бир же бир нече бирдик маалыматтардын келбетин “менчиктештиргиле”, андан ары ошол келбеттерди байланыштырасыңар. Ал маалыматтарды кайрадан эстеш үчүн иш-аракеттердин удаалаштыгы тескери тартипте жүрүшү керек: бири-бири менен байланышкан келбеттер эске түшүрүлөт, андан соң – аны мүнөздөгөндү эстейсиңер. Ошентип, алгач биз коддойбуз, ал маалыматтарды эстегенге ыңгайлуу болгондой шифрдик коддоо менен формага келтиребиз, а бизге керек болгон учурда, биз аны эсибизден алып кайрадан коддон жандырабыз. Кыйын эле өндөнөбү? Анда “Көлөмдүн формулаларын кантип эстеп калабыз” видео ролигин көрөлү
