Математика: Көлөм
Версия от 12:27, 11 февраля 2018; Msu05 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «__NOTOC__ <div class="row mat-bg> <div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content --> {{Якорь|Начало}} Болжо…»)
Болжолдуу түрдө байыркы жашоочулардын цивилизациясында ар кандай фигуранын аянтын эсептегенди үйрөнүү мезгилинде эле кошо көлөмдү да эсептөө зарылчылыгын келип чыкса керек. Бул маселе биринчи кезекте соода-сатык жана курулуштун өнүгүүсү менен байланышта болгон. Математиканын өнүгүүсү менен кошо б.з.ч. IV кылымда эскерүүлөрдө кездештирилген өзүнчө багыт – стереометрия (тегиздиктеги фигураларды окуп-үйрөткөн геометриянын бөлүмү) пайда болгон.
Египтеттиктер бул илимди чарбачылыктын ар кандай иштери болгон: сугатка пайдаланчуу каналдарды курууда, эбегейсиз ибадаткана жана пирамидаларды курууда, гранит таштан белгилүү сфинкстерди кесүүдө колдонушкан.
Биздин заманга чейинки жеткен папирустардагы геометриялык маалыматтарга таянсак, дээрлик көпчүлүгү аянтты жана көлөмдү эсептөөгө карата маселелерди камтыган. Аларда египеттиктер узундукту, аянтты жана көлөмдү эсептөө үчүн колдонгон эч кандай көрсөтмөлөр жок; анда жакындаштырылган эрежелерди көбүрөөк колдонушканын билүүгө болот. Египеттиктердин геометриясынын жогорку жетишкендиги катары “Москвадагы папирустарда” баяндагандай, негизи квадрат болгон кесилген пирамиданын көлөмүн эсептөөнү айтса болот.
Ар түрдүү телолордун көлөмүн эсептөөчү формуланы табуу узак мезгилдерди талап кылган. Вавилондук балбалташ таблицасында байыркы египеттик папирустарда көрсөтүлгөндөй кесилген приамиданын көлөмүн табуу эрежелери кездешет. Байыркы гректиктер призма, приамида, цилиндр жана конустардын көлөмдөрүн таба билүүнү Архимедке чейин эле өздөштүрүшкөн. Арийне, каалагандай аянтты жана көлөмдү аныктоонун жалпы ыкмасын ал гана билген. Архимеддин идеясы интегралдык эсептөөнүн негиздеринде жаткан. Окумуштуунун өзү дээрлик антикалык математикада каралган баардык телолордун аянты жана көлөмүн өзүнүн ыкмасынын жардамы менен аныктап чыккан. Архимеддин көрүстөнүндөгү плитада окумуштуу өзү жазып калтыргандай, шардын ичиндеги цилиндрдин тартылган сүрөтү жана анын астында жазылган бул телолордун көлөмү 3:2 катышында болот деген өтө улуу Архимеддин ачылышы катары баяндалат. Вавилондук жана байыркы египеттик архитектуралык эстеликтерде куб, параллелипипед, призма сыяктуу геометриялык фигуралар кездешет. Египеттик жана вавилондук геометрияда маанилүү маселелер болуп, мейкиндиктеги ар түрдүү фигуралардын көлөмүн аныктоо болгон. Бул маселелер үй, сарай, ибадаткана жана башка курулуштарды куруу зарылчылыгын аныктаганга жооп таап берген. Куб, призма жана цилиндр түрүндөгү буудай кампаларынын көлөмүн египеттиктер жана вавилондуктар, кытайлык тар, индиялыктар негизинин аянтын бийиктигине көбөйтүү жолу аркылуу аныкташкан. Арийне, байыркы Чыгышка гана тажрыйбалуу жол менен табылган өзүнчө эреже белгилүү болгон. Кийинчерээк гана көп грандыктардын көлөмүн эсептөөчү жалпы мамиле белгилүү болгон.
Бизди курчап турган айлана-чөйрөдөгү баардык телолор көлөмгө ээ. Күнүмдүк жашообузда биз ар түрдүү форма жана көлөмдөгү телолор менен кездешебиз. Айталы, чакага 10 литр суу батат. Бул дегендик, чаканын көлөмү – 10 литр. Башка мисал: бакчадагы үйдү курууга 20 метр куб жыгач керектелет. Белгилүү болгондой, бул миалдарда көлөм кандайдыр бир сан менен туюнтулат, бирок ар түрдүү бирдиктерде, айталы, бир учурда литр менен, а башкасында кубдук метр менен. Көлөмдүн ар түрдүү бирдиктеринде ар кандай сандар менен туюнтулат.
Илгери ар түрдүү элдердин өздөрүнүн өлчөөнүн чендери болгон. Айталы, Киевдин Руста дан-эгиндер ченин – кадь менен ченешкен, ал 230 кг барабар. Суюктукту челек жана чака менен ченешкен. XIX кылымда чен системасы төмөнкүчө болгон: 1 челек = 40 чакага, 1 чака = 10 чоң кесе (идиш), 1 чоң кесе (идиш) = 2 бөтөлкө, 1 бөтөлкө = 10 чыны.
Биздин өлкөнүн өзүнүн ченөө бирдиктери болгон. Эндей телолордун көлөмүн табууда үй-тиричилик буюмдарын пайдаланышкан. Эндей жана суюк телолордун көлөмүн төмөндөгүчө аныкташкан: кыпындай, таруудай, тырмактын агындай, бир чьшчым, бир ууч, бир кочуш, бир кашык, бир аяк. Дыйкандар көлөм жана салмакты байс бирдиги менен ченешкен. Анын салмагы 100 данга барабар болгон, а 100 байс 3 килограмм данга барабар болгон. Дыйкандар данын карызга бергенде же сатканда мындайча эсептешкен: 200 байс 6 кг дан болгон, аны бирдик катары кабыл алып чакс деп аташкан, андан чоңураак салмак чени катары 2 чакс – бир нимшек же 12 килограмм, бир шимек – 4 чакс же 48 килограммды түзөт. Данды көпчүлүк учурда жөнөкөй ыкма менен эсептешкен: 100 же 200 байс данды алышкан, аны бир адашке салышкан да аны түбүнөн манжанын элиси менен ченешкен. Бул учурда ченөө процесси тезирээк болгон, бирок тактык кыйла алыс болгон.
Дандын санын кап менен да ченешкен. Эң чоң кап тайдын бою менен тең болуп, аны тай кап дешкен; анын сыйымдуулугу бир батманга же 12 пудга барабар болгон. Элдик эпостордо баатырларды бир отурумда бир батман данды жеп койгон деп эскерилет:
Нан жыттанып алп Жолой
Көлөм деген эми эмне?
Көлөм – мейкиндиктеги телонун же нерсенин ээлеген ордунун сандык мүнөздөмөсү. Телонун көлөмү же сыйымдуулуг анын кормасы жана сызыктуу өлчөмү аркылуу аныкталат. Көлөм түшүнүгү кутуга салынган идиштин ички мейкиндигинин сыйымдуулугунун көлөмү менен байланышкан ж.б.
Формулада көлөмдү белгилөө үчүн V латын баш тамгасы колдонулат, ал латындан которгондо volume — «көлөм», «толтуруу» дегенди түшүндүрөт.
Көлөмдү ченөө бирдиги катарыкесиндини ченөө бирдигине барабар болгон куб колдонулат. Бул кубдук миллиметр, кубдук сантиметр, куюбдук дециметр, кубдук метр же кубдук килеометр болуп эсептелинет. Көпчүлүк учурда суюктуктун көлөмүн ченөө бирдиги катары 1 литр колдонулат. Бил бирдиктен башка бирдикке которуу үчүн төмөндөгү которуу схемасы келтирилген:
Көлөм төмөндөгүдөй касиеттерге ээ:
1. Телонун көлөмү терс эмес сан;
2. Бирдей телолор бирдей көлөмгө ээ;
3. Эгерде тело бир нече курамдан түзүлсө, анда анын көлөмү ал түзгөн телолордун көлөмдөрүнүн суммаларына барабар
Үчүнчү касиетке ылайык, тик бурчтуу параллелипипеддин көлөмүн табуу үчүн аны, кырлары ченөө бирдигине барабар болгондой кылып кубдарга бөлүү керек. Бирок мындай ыкма көлөмдү ченөөгө ыңгайсыз болот, ошондуктан тик бурчтуу параллелипипеддин көлөмүн бул формуланы колдонсо болот V=abc. Башка геометриялык фигуралардын көлөмүн табуу бир аз кыйынчылыкты жаратат. Ага карабай жашоодо математикалык маселелерди чечүүдө муну билүү керек. Адам баласы өзүнүн жашоосунда дайыма көлөмдү табууга карата ишмердикти жолуктурбай койбойт, айталы, кандайдыр бир тетикти даярдоодо же ар кандай курулуштарды курууда. Көптөгөн курулук объектилери, конструкциялык тетиктери жана башка предметтердин баары геометриялык телолор болуп саналат: параллелипипед, призма, цилиндр, шар формада.
Геометриялык телолордун көлөмүн табуудагы такай колдонууга ээ болгон формулалардын таблицасын мисал катары келтиребиз. Кагазга чыгарып алып колдонгула!
Пайдалуу шилтемелер
“Өз алдынча билим алуу” долбоору тиги же бул илимий чөйрөдөгү атайын даярдыктагы жок, адам баласы кабыл алууга ыңгайлуу болгон кыска жана түшүнүктүү формада билимдерди жана түшүнүктөрдү калыптоо үчүн кызмат аткарат. Бул жерде БМЭ боюнча мурунку жылдардагы математикалык профилинин деңгээлдеги маселелердин ачык банкынын тапшырмалары коюлган. Ал өзүңөр үчүн кызыгууну жараткан темалар боюнча каталогдорду тез тандаганга мүмкүнчүлүк берет. Билимге карай, чамда! http://self-edu.ru/math_egecats.php
Бул жерден силер көптөгөн керектүү жана пайдалуу формулаларды, таблицаларды жана сурап-билүү маалыматтарды табасыңар. А онлайн калькулятор болсо көлөмдөрдү эсептөөгө жардам берет. Эсептөө үчүн керектүү сандардын берилиштерин киргизгиле. Эсептөөнү миллиметр, сантиметр жана метр менен жүргүзөт. Жыйынтыгын кубдук сантиметр, литр жана кубдук метрде чыгарып берет. Байкап көрөлүбү? http://mozgan.ru/Geometry#block1
Глоссарий
Геометрическое тело - это «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, а в учебниках элементарной геометрии - «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости. Содержит углы, вершины, грани и ребра.
Конус - это тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Параллелепипед – это четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Пирамида - это многогранник, который состоит из многоугольника — основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды.
Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.
Тела вращения – это геометрические тела, полученные в результате вращения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой.
Цилиндр — тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра. Получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Шар - это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.
Библиография
- Архимед [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 88903749, сохранённая в 10:33 UTC 10 ноября 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/Архимед (дата обращения: 20.11.2017)
- ЕГЭ математика. Профильный уровень. Каталог заданий по темам. : [Электронный ресурс] // Самообразование. URL: http://self-edu.ru/math_egecats.php (дата обращения: 20.11.2017)
- Мозган Онлайн калькулятор. : [Электронный ресурс] // mozgan.ru. URL: http://mozgan.ru/Geometry#block1 (дата обращения: 20.11.2017)
- Системы измерения и счет у кыргызов.: [Электронный ресурс] //Open.kg Открытый Кыргызстан. URL: https://www.open.kg/about-kyrgyzstan/culture/ethnography/1970-sistemy-izmereniya-i-schet-u-kyrgyzov.html . (дата обращения: 20.11.2017)
- Как посчитать объем - формулы расчета. : [Электронный ресурс] // «ФБ», 2017. URL: http://fb.ru/article/143418/kak-poschitat-obyem---formulyi-rascheta (дата обращения: 20.11.2017)
- Загадки в стихах о геометрических фигурах и телах. : [Электронный ресурс] //Литературный проект "Ковдория" 2007 - 2012 URL: http://igri-uma.ru/forum/index.php?showtopic=3936 (дата обращения: 20.11.2017)
- Пирамида (геометрия) [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 85954734, сохранённая в 15:42 UTC 13 июня 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамида_(геометрия) (дата обращения: 20.11.2017)
- Призма (геометрия) [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 87437416, сохранённая в 14:58 UTC 4 сентября 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Призма_(геометрия) (дата обращения: 20.11.2017)
- Куб [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 88557583, сохранённая в 15:36 UTC 25 октября 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Куб (дата обращения: 20.11.2017)
- Прямоугольный параллелепипед [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 87981530, сохранённая в 19:25 UTC 30 сентября 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямоугольный_параллелепипед (дата обращения: 20.11.2017)
- Цилиндр [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 85933764, сохранённая в 15:46 UTC 12 июня 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL:http://ru.wikipedia.org/?oldid=85933764 (дата обращения: 20.11.2017)
- Конус [Электронный ресурс] : Материал из Википедии — свободной энциклопедии : Версия 87095971, сохранённая в 10:39 UTC 16 августа 2017 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2017. URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/Конус. URL:(дата обращения: 20.11.2017)
азличные прикладные задачи на определение объема.
Вернемся к проблеме: как посчитать объем перевозимых грузов. Каким является груз: фасованным или сыпучим? Каковы параметры тары? Вопросов больше, чем ответов. Немаловажным станет вопрос массы груза, поскольку транспорт отличается грузоподъемностью, а трассы – максимальным весом транспортного средства. Нарушение правил перевозки грозит штрафными санкциями.
Вопрос определения объемов играет немаловажную роль в строительстве. Возведение домов, других сооружений – дело затратное, стройматериалы требуют внимательного отношения и предельно точного расчета. Основа здания – фундамент - представляет собой обычно литую конструкцию, заполняемую бетоном. Перед тем как посчитать объем бетона, необходимо определить тип фундамента. Плитный фундамент – плита в виде прямоугольного параллелепипеда. Столбчатое основание - прямоугольные или цилиндрические столбы определенного сечения. Определив объем одного столба и умножив его на количество, можно рассчитать кубатуру бетона на весь фундамент. Рассчитывая объем бетона для стен или перекрытий, поступают достаточно просто: определяют объем всей стены, умножая длину на ширину и высоту, затем отдельно определяют объемы оконных и дверных проемов. Разность объема стены и суммарного объема проемов – объем бетона.
Некоторые прикладные задачи требуют знаний об объеме зданий и сооружений. К ним относятся проблемы ремонта, реконструкции, определения влажности воздуха, вопросы, связанные с теплоснабжением и вентиляцией. Прежде чем ответить на вопрос о том, как посчитать объем здания, делают замеры по внешней его стороне: площади сечения (длина умножается на ширину), высоты здания от нижней части первого этажа до чердака. Определение внутренних объемов отапливаемых помещений проводят по внутренним обводкам.
Современные квартиры и офисы невозможно представить без системы отопления. Основной частью систем являются батареи и соединительные трубы. Как посчитать объем системы отопления? Полный объем всех секций отопления, который указан на самом радиаторе, необходимо сложить с объемом труб. И на этом этапе встает проблема: как посчитать объем трубы. Представим, что труба – цилиндр, решение приходит само собой: используем формулу расчета объема цилиндра. В отопительных системах трубы заполняются водой, поэтому необходимо знать площадь внутреннего сечения трубы. Для этого определяем ее внутренний радиус. Формула определения площади круга известна из курса геометрии. Общая длина труб определяется по их протяженности в помещении.Вопрос: «Почему сложные загадки опасны для людей?»
Разгадывать загадки – очень увлекательное занятие. Ведь они учат думать и анализировать, расширяют знания о мире, пополняют словарный запас. Загадки прекрасно развивают мышление, логику, память. И делают это непринужденно, в игровой форме. Ведь искать разгадку так весело и интересно! Ну, а поскольку в таком состоянии думать тяжело, сразу приводим ответ, надо лишь немного подождать, чтобы его увидеть.
Многие из вас скажут, как же применять на практике геометрические формулы, если запомнить их очень сложно, а для некоторых это просто набор букв и цифр. В этом поможет мнемотехника: каждой или нескольким единицам информации «присваивается» образ, и далее связываются данные образы. Чтобы вспомнить (воспроизвести) данную информацию, порядок действия будет обратный: вспоминаются связанные между собой образы, а затем – то, что под ними подразумевалось. Таким образом, фактически сначала мы кодируем, зашифровываем данные в форму, удобную для запоминания, а когда они нам понадобятся, мы достаем их из памяти и расшифровываем. Звучит сложно? Тогда смотрим видео ролик «Как запомнить формулы объема»
