БИЛИМ БУЛАГЫ

История изучения объемов тел

Примерно в то же время, когда жители древних цивилизаций научились вычислять площади различных фигур, появилась необходимость и в вычислении объемов. Эта задача в первую очередь была связана с развитием торговли и строительства. С развитием математики появилась отдельное направление – стереометрия (раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур), упоминания о котором встречались уже в IV веке до нашей эры.

Египтяне использовали эту науку в различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи почти все относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объёмов; часто употреблялись правила приближённых подсчётов. Высшим достижением египетской геометрии следует считать точное вычисление объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, содержащееся в «Московском папирусе».

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долгим. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он знал общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда - о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения. Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны только отдельные правила, найденные опытным путем. В более позднее время был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Все тела, которые нас окружают, имеют объём. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с телами разных форм и объемов. Например, мы говорим, что ведро вмещает в себя 10 литров воды. Это означает, что объем ведра - 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 20 кубометров (или кубических метров) древесины. Как видно, в этих примерах объемы выражаются определенными числами, но в разных единицах - в одном случае в литрах, в другом - в кубических метрах. В разных единицах объем одного и того же тела выражается разными числами.

В древности у разных народов были свои меры измерения. Так в Киевской Руси существовала мера зерна – кадь, равная 230 кг ржи. Жидкости мерили бочками и вёдрами. В XIX веке система мер имела вид: 1 бочка = 40 ведрам, ведро = 10 штофам, 1 штоф = 2 бутылям, бутыль = 10 чаркам.

Единицы измерения объема у древних кыргызов

В нашей стране существовали свои единицы измерения. Для нахожденияы объемов сыпучих тел употребляли предметы домашнего обихода. Объемы сыпучих и жидких тел обозначались следующим образом: кыпындай — с крошку, таруудай — с зернышко проса, тырмактын агындай — с белую часть ногтя, бир чьмчым — щепотку, бир ууч — горсть, бир кочуш — пригоршню, бир кашык — с ложку, бир аяк — с чашку средней величины. У дехкан практиковалась такая единица измерения объема и веса, как байс. Она равнялась весу 100 зерен ячменя, а 100 байсов составляли 3 килограмма зерна. Когда дехкане получали, давали взаймы или продавали зерно, то считали так: 200 байсов, составлявшие 6 килограммов ячменя, принимали за единицу, называвшуюся чакса; более крупной мерой веса были 2 чаксы — бир нимшек, или 12 килограммов, бир шимек —4 чакса, или 48 килограммов. Часто зерно измеряли более простым способом: брали 100 или 200 байсов зерна, засыпали в какой-нибудь сосуд и измеряли количество зерна по высоте от дна сосуда по суставам пальцев рук. В этом случае процесс измерения проходил намного быстрее, но неточность увеличивалась.

Количество зерна измерялось также кап — мешками, которые имели разную вместимость. Самый большой кап имел высоту в рост жеребенка и назывался тай кап; его вместимость была равна одному батману пшеницы или 12 пудам. В народных эпосах упоминаются богатыри, которые за один присест могли съесть не один батман зерна:

Что такое объем

Так что же такое объём?

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п.

В формулах для обозначения объёма используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от латинского volume — «объём», «наполнение».

За единицу измерения объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Это кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр или даже кубический километр. Часто для измерения объёма жидкости используют единицу измерения 1 литр. Схема перевода одной единицы измерения объема в другую приведена ниже.

Свойства объема

Объёмы обладают следующими свойствами:

1. Объем тела есть неотрицательное число.

2. Равные тела имеют равные объемы

3. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Согласно третьему свойству, чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения. Но такой способ измерения объёмов неудобен, поэтому применяют формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда V=abc. Формулы для вычисления других геометрических тел немного сложнее. Несмотря на это их надо знать уметь применять при решении математических задач и в жизни. В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объёмов, например, при изготовлении каких-либо деталей или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты, детали конструкций и другие предметы имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, цилиндров, шаров.

Формулы нахождения объема

Предлагаем таблицу, в которые вошли часто используемые геометрические тела и формулы нахождения их объема. Распечатайте и используйте!

Глоссарий

Геометрическое тело - это «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, а в учебниках элементарной геометрии - «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости. Содержит углы, вершины, грани и ребра.

Конус - это тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипед – это четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Пирамида - это многогранник, который состоит из многоугольника — основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.

Тела вращения – это геометрические тела, полученные в результате вращения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой.

Цилиндр — тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра. Получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Шар - это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Полезные ссылки

Проект "Самообразование" служит для представления знаний в понятной, ясной и краткой форме, удобной для восприятия человеком, не имеющим специальной подготовки в той или иной научной области. Здесь представлены задачи из открытого банка задач по ЕГЭ математика профильный уровень за предыдущие годы. Все задачи разбиты по темам и содержат подробное решение. Это поможет быстро сориентироваться в каталоге и выбрать для себя те темы, которые его интересуют. Вперед, к знаниям!: [Электронный ресурс] // Самообразование. URL: http://self-edu.ru/math_egecats.php (дата обращения: 20.11.2017) http://self-edu.ru/math_egecats.php

Здесь вы найдете много полезных и нужных формул, таблиц и справочной информации. А онлайн калькулятор поможет рассчитать объем. Для расчета задайте необходимые данные. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров. Попробуем?: [Электронный ресурс] // mozgan.ru. URL: http://mozgan.ru/Geometry#block1(дата обращения: 20.11.2017)

Библиография

• ЕГЭ математика. Профильный уровень. Каталог заданий по темам. : [Электронный ресурс] // Самообразование. URL: http://self-edu.ru/math_egecats.php (дата обращения: 20.11.2017)
• Мозган Онлайн калькулятор. : [Электронный ресурс] // mozgan.ru. URL: http://mozgan.ru/Geometry#block1 (дата обращения: 20.11.2017)
• Системы измерения и счет у кыргызов.: [Электронный ресурс] //Open.kg Открытый Кыргызстан. URL: https://www.open.kg/about-kyrgyzstan/culture/ethnography/1970-sistemy-izmereniya-i-schet-u-kyrgyzov.html . (дата обращения: 20.11.2017)
• Как посчитать объем - формулы расчета. : [Электронный ресурс] // «ФБ», 2017. URL: http://fb.ru/article/143418/kak-poschitat-obyem---formulyi-rascheta (дата обращения: 20.11.2017)
• Загадки в стихах о геометрических фигурах и телах. : [Электронный ресурс] //Литературный проект "Ковдория" 2007 - 2012 URL: http://igri-uma.ru/forum/index.php?showtopic=3936 (дата обращения: 20.11.2017)