БИЛИМ БУЛАГЫ

Координаттын келип чыгышы

Координаттын келип чыгышы жана координаттык системанын калыптанышы астрономия, геометрия, сүрөт сыяктуу илимдердин өнүгүшүнүн аркасында пайда болгон тээ байыркы мезгилге туура келет. Байыркы грек окумуштуусу Анаксимандр Милетский ( б.з.ч. болж. 610-546) алгачкы географиялык картаны түзүүчүлөр деп эсептелинет. Б.з.ч. 100 жылдан ашуун мурунураак грек окумуштуусу Гиппарх жер шарынын картасында жарыш жана меридиан түшүнүктөрүнө баш ийүүнү сунуштап жана азыркы учурда кеңири белгилүү болгон географиялык: туурасы жана узактыгы координаттарды киргизип аларды сандар менен белгилеген.Сандарды чекиттер түрүндө чагылдыруу, а чекиттерди сан менен белгилөө байыркы мезгилде эле пайда болгон. Тик бурчтук координаттарды квадраттык торчолор түрүндө колдонуу идеясынын издери байыркы Египеттиктерди көөктөр көмүлгөн бөлмөлөрдүн дубалдарында тартылган.

Азыркы мезгилдеги координатты түзүү ыкмасынын негизги эмгеги француз окумуштуусу Рене Декарттка тиешелүү. Сатылып алынган билетибизге ылайык театрдагы ээлеген ордубуздун биздин жашообузга абдан ыңгайлуу ошол эле учурда этибарыбызга албагандай кылып ээлеген ордубузду жана катар номурубузду белгилөөсү накта мисалы катары белгилесек болот. Бул идеяны белгилүү философ, математик табигый сыноочу Рене Декартка (1596-1650) тиешелүү деп айтышат – ал азыркы күндө Декарттык координаталар системасы деп аталат. Париждин театрларына ал келген маалда чаташтыргандарды, талаш-тартыштарды, анын аркасы менен ошол жерде дуэлге чакырышкандарга күбө болуп эл отурчу залдын тартипке салуусу керектигине ой келген. Ал тарабынан катарынын номуру жана отура турган ордунун жайгашышынын тартиби ошол мезгилде абдан таң калуу менен фурор болуп, талаш-тартыш, ызы-чуу жана түшүнбөстүктүн баарына чекит койгон.

Координаттык ыкманын өнүгүүсүнө салым кошкондордун бири болуп да Пьер Ферма саналат. Декарт жана Ферма координаттык ыкманы тегиздикте гана колдонушкан. Координаттык ыкманы үч өлчөмдүү мейкандикте колдонууну XVIII кылымдан тарта Леонард Эйлер киргизген. Ал эми “абсцисса”, “ордината” жана “координаттар” терминдерин биринчилерден болуп он жетинчи кылымдарда Вильгельм Лейбниц киргизген.

Тегиздиктеги координаттар

Эки перпендикулярдуу координаттуу түз сызыктарды жүргүзөбүз – х жана у, алар отсчеттун башында О чекитинде кесилишет. Бул түз сызыктарды тегиздиктеги координаттардын системасы деп аташат, ал эми О чекити- координаттын башталышы. Координаттардын системасына тандалып алынган тегиздик координат тегиздиги деп аталат.

Анда М –тегиздиктеги кээ бир чекит. Ал аркылуу МА түз сызыгын өткөрсөк, координаттын Х перпендикулярдуу түз сызыгын, жана ХВ түз сызыгы, координаттын У перпендикулярдуу түз сызыгын. А чекити 4 координатына, ал эми В чекити 3 координатына ээ болгон болсо, анда М чекитинин абалы эки сан (4, 3) менен аныкталат. Бул эки санды М чекитинин координаттары деп аташат. 4 саны М чекитинин абциссасы, а 3 саны М чекитинин ординаты. Х координатынын түз сызыгынын -абцисстин огу, У координатынын түз сызыгынын-ординаттын огу. М чекити 4 абциссасы жана 3 ординатасы мындай белгиленет: М (4, 3). Биринчи абциссанын чекитин, экинчи анын ординатын жазышат. Эгерде координаттардын ордун алмаштырса, анда башка бир чекит болуп калат (3, 4), бул дагы сүрөттө көрсөтүлгөн.

Координаттык тегиздиктеги ар бир чекитке эки сан дал келет: анын абсциссасы жана ординатасы, жана тескерисинче ар бир эки санга тегиздиктин бир чекити дал келет, бул сандар координаттар болуп саналат.

Координаттык октор тегиздикти I, II, III, IV деген төрт чейрекке бөлөт. Бир чейректин чегинде эки координат белгилерин сактайт. Биринчи чейректе алар оң, экинчиде - абцисса терс, а ординатасы оң, үчүнчүдө - абцисса жапна ордината да терс, а төртүнчүдө - абцисса он, ординатасы терс мааниге ээ болот.

х огунун чекити нөлго барабар ординатасы (у=0), а у огунун чекити - нөлгө барабар, абциссасы (х=0). Абцисса жана ордината координаталык башталышы нөлгө барабар.

1-мисал. Координаттык тегиздикте А (1; 3), В (0;-4) , С (-3;-2) чекиттери белгиленген.

Перпендикулярдуу түз сызыктар.

Кесилишкен жеринде түз бурчту түзүүчү эки түз сызыктарды перпендикулярдуу деп аташат.

Сүрөттө түз сызыктар a жана b көрсөтүлгөн, алар бири бирине жана окторуна перпендикулярдуу. Жазышат a⊥b, a⊥Oy, b⊥Ox. Эгерде түз сызык a⊥b, анда , b⊥a. Түз сызыктарc жана d бири бирине перпендикулярдуу, бирок координаттын огуна перпендикулярдуу эмес. Жазышат: c⊥d.

Параллелдүү түз сызыктар.

Эки ар кандай түз сызыктар же бир чекитте кесилиши же кесилишпеши мүмкүн. Тегиздиктеги эки кесилишпеген түз сызыктарды паралеллдер деп аташат. Жазышат: AB∥MN. Бул жазууну мындай окушат: «AB түз сызыгы MN түз сызыгына паралеллдүү». Эгерде AB∥MN , анда MN∥AB.

2-мисал. Координаттык тегиздикте А (-4; 3) чекити аркылуу ординаттык окко жарыш түрдө түз сызык, а В (5; -2) чекити аркылуу абсцисса огуна жарыш түз сызыктар жүргүзүлгөн. Бул түз сызыктар кесилишкен чекитти белгилегиле.

3-мисал. Чокулары А (3; 4), В (-5; 4), С (-5; -3) болгон ABCD тик бурчтугу берилген. Координаттык тегиздикте D чокусун белгилегиле.

4-мисал. А (х; 2) жана В (3; - 3) чекиттери берилген. АВ түз сызыгы абсцисса огуна перпендикульярдуу экени белгилүү. х тин маанисин тапкыла.

Күндөлүк жашоодогу координаттар

Күнүмдүк жашообузда координаттык тегиздик жөнүндө билимибиз кандайча керек болот? Сиз "өзүңдүн координтыңды калтыр" же "сизди кайсы координат боюнча таба алам" деген фразаларды уктуңар беле? Бул сөздүн мааниси кандай деген ойго келдиңер беле?

Алгач, географиялык координат боюнча жерди издөөдө жана ошондой эле белгилүү чекиттин координаталарын аныктоо үчүн керек болуучу Google Картанын тиркесеминин тобун пайдаланабыз. Бишкек шаарынын географиялык координатасын аныктайбыз.

Эми тескери амалды аткарабыз да 40°30'51.3"N 72°48'57.2"E координат эмне экендигин аныктайлы.

Демек, координаттарды билүү менен керектүү объектилердин кайда жайгашканын билип алуу жеңил болот экен. Координаттык системанын адам баласынын жашоосунда зарыл керек экендигин ырастаса болот экен. Мисалы, классташыңдыкына коноко баратып анын жашаган үйүн эле билүү жетишсиз экендигин жана да анын батиринин номурун да билүү керек экендигин айтса болот.

Поезддин билетинде анын номуру жана белгиленген орду көрсөтүлөт, ошондой эле вагондун номуру жана отургузуучу орду көрсөтүлөт. Авиабилетте дагы биз рейстин номурун, самолёттун моделин, учуу жана конуу убактысын көрүүгө болот. Театрдын же кинотеатрдан өзүндүн ордуңду табуу үчүн, алгач биз катарыбызды таап андан соң өз ордубузду табабыз.

Дээрик көпчүлүгүбүз жашоодо бир жолу “деңиз күрөшүн” ойносо керек. Оюнчулар бири-биринен суудагы кемелерин жашырышат дагы, оюн процессинде каршылашынын кемесин координаттык тегиздикте жайгашкан ордуларын айтуу менен талкалоо максатын көздөшөт эмеспи.

Бул ыкманын негизинде – көп сандагы уячалары бар жана узун түгөй сандардын тизмесинин бул тармакка окшоштуруусу. Дал ушул мүнөздө биз телевизордун экранындагы сүрөттөлүштү алабыз. Эгерде бул бөлүктөгү сүрөттөлүштү алып аны удаалаш чоңойтсок натыйжада квадраттарды көрө алабыз. Ал сүрөттөлүштөрдү көрсөтүү үчүн, программа ар бир квадрат “пикселге” аныкталган түстөрдү ыйгарат. Бирдиктин аянтындагы пикселдер канча көп болгон сайын, ошончолук биз колдонуучу торчо тыгыз болуп, сүрөттөлүш мыкты көрүнөт.

Тик бурчтуу координаттардын сүрөттө да колдонулганын көрүүгө болот. Дюрердин бир оймосунда айнек аркылуу түшүрүлгөн квадраттык торчо тартылган сүрөттөлүш түшүрүлгөн. Эгерде терезенин алдына туруп, көз карашты өзгөртпөй айнектин баарын тегерете көз жүгүртсө, анда ал мейкиндиктин келечектүү сүрөтү катары боло алат.

Пайдалуу шилтемелер

• Лев Генденштейндин “Алиса математика өлкөсүндө” китебинде силер Льюиса Кэрролланын бүткүл дүйнөгө белгилүү жомогунун персонаждары менен кайрадан кездешесиңер. Алиса менен бирге математика өлкөсүнө саякаттайсыңар: өзүңөрдүн чыгармачыл элестөөңөрдү жана логикалык ой жүгүртүүңөрдү пайдаланып кызыктуу математикалык маселелери чыгарасыңар. Китепте андан сырткары дагы байыркыдан бери биздин мезгилге чейинки улуу математиктер менен жана математиканын келип чыгышы жана өнүгүү тарыхы жөнүндө да маалыматтар камтылган. [Электрондук ресурс] // ЛитЛайф - литературный клуб URL: https://litlife.club/br/?b=282306 (Кайрылуу датасы: 14.04.2018)

• “Координаттар системасы” IV регионалдык тармактык математикалык долбоордун алкагындагы “Координат системасы” кызыктуу презентациясы.: [Электрондук булак] // ООО CALAMEO URL: https://ru.calameo.com/read/001079152e4dd53000844 (Кайрылуу датасы: 16. 04. 2018)

• Эгерде координаттар системасында бир нече чекиттерди жайгаштырып жана аларды аныкталган тартипте туташтырсак, анда кандайдыр бир фигура алынат. А кандай фигураны курууга болоорун төмөндө көрсөк болот. Байыркылардын координаттар системасы: [Электрондук булак] // HintFox 2015 URL: http://www.hintfox.com/article/sistemi-koordinat-drevnosti.html (Кайрылуу датасы: 16. 04. 2018)

Глоссарий

1. Сандык огу – түз сызык, анда чыныгы сандар көрсөтүлгөн

2. Абсцисса - лат. abscissa-кесип алуу (икс огундагы кесинди).

3. Ордината - лат. ordinatus – тартипте жайгашкан.

4. Координаттар — чоңдуктар, тегиздиктеги чекиттердин абалын аныктоо.

5. Координаттардын системасы — аныктамалардын комплекси, координаттардын методдорун ишке ашыруу, башкача айтканда чекиттин же телонун абалын сандардын жана башка символдордун жардамы менен аныктоо ыкмасы. Сандардын көптүгүн аныктоочу конкретүү чекиттин абалы, ошол чекиттин координаттары деп аталат.

6. Симметрия — грек сөзүнө которулганда катышты билдирген, белгилүү бир тартипке ээ, бөлүкчөнүн закон ченемдүүлүктөрүн жана жайгашышын билдирет.

7. Веб-картография - бул акыркы колдонуучуга мейкиндик берилиштерди жетикирүү менен байланышкан компьютердик технологиянын чөйрөсү.

Библиография

• Веб-ГИС (Компьютерра, 749, 2008): [Электронный ресурс] // GIS-Lab и авторы, 2002-2018 URL: http://gis-lab.info/qa/webgis.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
• Гравюры Дюрера:[Электронный ресурс] // Gallerix 2009 - 2018. URL: https://gallerix.ru/storeroom/1780068273/ (Дата посещения: 14.04.2018)
• Лев Генденштейн «Алиса в стране математики»: [Электронный ресурс] // ЛитЛайф - литературный клуб URL: https://litlife.club/br/?b=282306 (Дата посещения: 14.04.2018)
• Координаты в повседневной жизни:[Электронный ресурс] //Математика, решение онлайн!!! 2018. URL: https://matemonline.com/2013/08/koordinaty-v-povsednevnoj-gizni/ (Дата посещения: 14.04.2018)
• Осевая и центральная симметрия: [Электронный ресурс] // ООО ЯКласс 2018. URL: http://www.yaklass.ru/p/matematika/6-klass/geometricheskie-figury-i-tela-simmetriia-na-ploskosti-13781/osevaia-i-tcentralnaia-simmetriia-14716/re-e5fbbd9b-0519-4f8d-88ee-4bdcfa44b87b (Дата посещения: 14.04.2018)
• Системы координат, применяемые в геодезии и топографии: [Электронный ресурс] // «ФБ», 2017 URL: http://fb.ru/article/352671/sistemyi-koordinat-primenyaemyie-v-geodezii-i-topografii (дата обращения: 16. 04. 2018)
• Координаты. Декартова система координат.: [Электронный ресурс] //Calc.ru 2000-2018 URL: https://www.calc.ru/Koordinaty-Dekartova-Sistema-Koordinat.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
• "Система координат" в рамках IV регионального сетевого математического проекта "Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее".: [Электронный ресурс] // ООО CALAMEO URL: https://ru.calameo.com/read/001079152e4dd53000844 (дата обращения: 16. 04. 2018)
• Системы координат древности: [Электронный ресурс] // HintFox 2015 URL: http://www.hintfox.com/article/sistemi-koordinat-drevnosti.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
• Карта Бишкека: [Электронный ресурс] //OpenStreetMap contributors, API 2GIS URL: https://2gis.kg/bishkek (дата обращения: 16. 04. 2018)
• Гугл карты:[Электронный ресурс] // Google 2018. URL: https://www.google.ru/maps/@26.4677171,28.1395614,20599069m/data=!3m1!1e3 (дата обращения: 16. 04. 2018)
• В.А. Гусев, А.Г. Мордкович Математика. Справочные материалы М.: Просвещение, 1988.