БИЛИМ БУЛАГЫ

KR

Математика: Теңдемелердин чыгарылышы — различия между версиями

(Новая страница: «__NOTOC__ <div class="row mat-bg"> <div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content --> {{Якорь|Начало}} <div clas…»)
 
 
(не показано 35 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
__NOTOC__
 
 
<div class="row mat-bg">
 
<div class="row mat-bg">
 
<div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content -->  
 
<div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content -->  
−
{{Якорь|Начало}}
+
{{Якорь|Башталышы}}
 +
==Теңдемелердин тарыхынан==
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ1.png|500px]]}}</div>
+
                                            Тендемелер мен үчүн маанилүү,
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ1.png|500px]]}}</div>
+
                                                анткени саясат – азыркы учур үчүн,
 +
                                                а теңдемелер – түбөлүк үчүн.  
 +
                                              Альберт Эйнштейн.
  
−
Эң байыркы математикалык  жазылмаларда  эле амалдардын жардамы менен чыгарылган мисалдар жана амалдар кездешкен. Мындай Египеттик папируста биздин заманга чейин  2000 жыл мурун ( анда автор Ахмес жазгыч көрсөткөндөй, бул математикалык жазылмалар мындан да байыркы башка жазылмалардын көчүрмөсү) белгисиз санды табууга маселелер болгон. Ал белгисиз «хау» (дөбөчө) деп аталган жана өзгөчө иероглиф менен белгиленген.  
+
 
 +
Эң байыркы математикалык  жазылмаларда  эле амалдардын жардамы менен чыгарылган мисалдар жана амалдар кездешкен. Мындай Египеттик папируста биздин заманга чейин  2000 жыл мурун ( анда автор Ахмес жазгыч көрсөткөндөй, бул математикалык жазылмалар мындан да байыркы башка жазылмалардын көчүрмөсү) белгисиз санды табууга маселелери болгон. Ал белгисиз «хау» (дөбөчө) деп аталган жана өзгөчө иероглиф менен белгиленген.  
  
 
Мына  ал папирустун мисалдарынын чыгарылыштарынан:  
 
Мына  ал папирустун мисалдарынын чыгарылыштарынан:  
  
−
1) 1) «Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду тузөт».
+
1) «Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду түзөт».
  
 
Азыркы кезде бул мисал мындайча жазылат:  
 
Азыркы кезде бул мисал мындайча жазылат:  
 
      
 
      
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:1_7.png|100px]]}}</div>
+
<ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:1_7.png|100px]]}}</div>
+
    <li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№1.png]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№2.png]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№3.png]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
 
2) «[[Файл:2_3.png|20px]] кошулган жана [[Файл:1_3.png|20px]]  алынган: калдыгы 10».  
 
2) «[[Файл:2_3.png|20px]] кошулган жана [[Файл:1_3.png|20px]]  алынган: калдыгы 10».  
Строка 22: Строка 34:
 
Азыркы кезде бул маселе мындайча жазылат: [[Файл:X_2.png|150px]] ; Жообу:  х=9
 
Азыркы кезде бул маселе мындайча жазылат: [[Файл:X_2.png|150px]] ; Жообу:  х=9
  
−
3) 3) Диофантада дагы бир белгисизи менен амалдар кездешет, мисалы:  
+
3) Диофантада дагы бир белгисизи менен амалдар кездешет, мисалы:  
 
“20 жана 100 сандары. Бир эле санды эң кичине санга  кошуп жана эң чоңунан алуу; сумманын айырмага карата мааниси 4 кө барабар”.
 
“20 жана 100 сандары. Бир эле санды эң кичине санга  кошуп жана эң чоңунан алуу; сумманын айырмага карата мааниси 4 кө барабар”.
−
Мисал бул теңдемеге алып келет:  [[Файл:20+x.png|50px]]
 
  
−
4) 4) Индиялыктардын  биздин заманга чейинки VII  жана VIII кылымдардагы  арифметикалык кол жазмаларында, ал дагы андан дагы байыркы (III-IVкылымдардагы) кол жазманын көчүрмөсү, анда мындай маселе бар:
+
4) Индиялыктардын  биздин заманга чейинки VII  жана VIII кылымдардагы  арифметикалык кол жазмаларында, ал дагы андан дагы байыркы (III-IVкылымдардагы) кол жазманын көчүрмөсү, анда мындай маселе бар:
 +
 
 
“Төрт курмандыктын экинчиси биринчиге караганда экиге көп берди, үчүнчүсү экинчиге караганда үчкө  көп, төртүнчү үчүнчүдөн төрткө көп, баары биригип 132 беришти. Биринчи канчаны берди?”
 
“Төрт курмандыктын экинчиси биринчиге караганда экиге көп берди, үчүнчүсү экинчиге караганда үчкө  көп, төртүнчү үчүнчүдөн төрткө көп, баары биригип 132 беришти. Биринчи канчаны берди?”
−
Теңдемени жазсак:  
+
 
−
Кол жазмаларда бул маселе “жалган абал” ыкмасы менен чыгарылат. (Бул ыкманы Л.Ф.Магницкий өзүнүн “Арифметикасында” пайдаланган.) “Эгерде биринчи 1ди берсе, анда экинчи 2ни, үчүнчү 6, төртүнчү 24, баары чогуу 33. Бирок баары бирге 132 болчу да, башкача айтканда төрткө көп.  Демек, ар бир курмандык төрткө көп беришкен”.  
+
Теңдемени жазсак: x+2x+6x+24x=132
 +
 
 +
Кол жазмаларда бул маселе “жалган абал” ыкмасы менен чыгарылат. (Бул ыкманы Л.Ф.Магницкий өзүнүн “Арифметикасында” пайдаланган.)  
 +
 
 +
“Эгерде биринчи 1ди берсе, анда экинчи 2ни, үчүнчү 6, төртүнчү 24, баары чогуу 33. Бирок баары бирге 132 болчу да, башкача айтканда төрткө көп.  Демек, ар бир курмандык төрткө көп беришкен”.  
 
Жооп: 4;8;24;96.
 
Жооп: 4;8;24;96.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ2.png|500px]]}}</div>
+
Бирок биринчи даражадагы бир белгисизи менен теңдемени  чыгаруунун жалпы эрежесин IX кылымда Мухаммед аль-Хорезми берген.
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ2.png|500px]]}}</div>
 
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:РУ3.png|200px]]}}</div>
+
<div class="show-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:РУ3.png|200px]]}}</div>
+
<div class="hide-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
−
Бирок биринчи даражадагы бир белгисизи менен теңдемени  чыгаруунун жалпы эрежесин IX кылымда Мухаммед аль-Хорезми берген.
 
  
 
Өзүнүн “Аль-джебр жана аль-мукабала” аттуу жазылмаларында ал теңдемени чыгаруудагы колдонулган эки абалды берген:
 
Өзүнүн “Аль-джебр жана аль-мукабала” аттуу жазылмаларында ал теңдемени чыгаруудагы колдонулган эки абалды берген:
Строка 45: Строка 59:
 
2) “аль-мукабала” теңдеменин эки жагынан тең бирдей мүчөсү алынат, бул болсо аны жөнөкөйлөткөнгө алып келет.  
 
2) “аль-мукабала” теңдеменин эки жагынан тең бирдей мүчөсү алынат, бул болсо аны жөнөкөйлөткөнгө алып келет.  
  
−
Мисалы, Берилди: 5х-17=2х-5.
+
Мисалы.
 +
 
 +
Берилди: 5х-17=2х-5.
  
 
“аль-джебрды” пайдалансак: теңдеменин ар бир бөлүгүнө 5 менен 17и кошобуз.
 
“аль-джебрды” пайдалансак: теңдеменин ар бир бөлүгүнө 5 менен 17и кошобуз.
Строка 55: Строка 71:
 
Анда: 3х=12 ни алабыз.
 
Анда: 3х=12 ни алабыз.
  
−
Бул жерден х ти табуу оңой болот.
+
Бул жерден х ти табуу оңой болот x=4.
 +
 
 +
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen_kyrg.mp4|500px]]}}</div>
 +
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen_kyrg.mp4|500px]]}}</div>
 +
 
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
 +
 
 +
==Кыргызстандагы математикалык илимдин өнүгүүсү==
 +
Математика мектепте предмет катары Кыргызстанда Октябрь революциясынан кийин, жогорку математика болсо – Кыргызстанда биринчи ЖОЖ – Кыргыз мамлекеттик педагогикалык институту – азыркы Ж. Баласагын атындагы Кыргыз улуттук университети ачылгандан кийин окутула баштаган. 
 +
 
 +
Кыргызстанда математика боюнча системалуу изилдөө иштери 1940-жылдан тартып семинарда профессор Г. А. Сухомлиновдун жетекчилиги астында жүргүзүлө баштаган. 1949-1965-жылдары семинарларды 1960-жылы Кыргыз ССРдин ИА мүчө-корреспонденти болгон профессор Я. В. Быков жетектеген, 1966-жылдан тартып бул семинарларды жалпы республикалык болуп, Институттун дубалында Кыргыз ССРдин ИА академиги (1979) жана СССРдин ИА (1981) мүчө-корреспонденти М. И. Аманалиев жетекчиликке алган. 
 +
 
 +
1955-жылы Кыргыз ССРдин ИА Президиумунун астында, ал убакта эле илимдин кандидаттары Я. В. Быков жана М.И. Иманалиевдер курамында болушуп, Физика, математика жана механика бөлүмүн түзүшкөн.
 +
 
 +
1960-жылы Бөлүм Физика, математика жана механика Институту болуп өзгөртүлгөн. 1962-жылы ал Физика жана математика Институту аталып, 1984-жылы Физика жана математика Институтунун базасынын математикалык лабораториясынын базасында Математика институту уюштурулган. 2008-жылы анын базасында Теориялык жана прикладдык математика институту түзүлүп, а 2017-жылы ал КР УИА Математика институту болуп кайра аталган.
 +
 
 +
1984-жылдан 2016-жылга чейин Институтту М. И. Иманалиев жетектеген, а 2016-жылдан тартып бүгүнкү күнгө чейин академик А. А. Бөрүбаев жетектеп келет.
 +
Институттун негизги ишмердүүлүгү төмөнкү илимий изилдөөчүлүк багыттарды аныктайт:
 +
 
 +
* Тең калыптагы жана топологиялык тегиздиктер жана алардын чагылдырылышы.
 +
* Функционалдык мейкиндик.
 +
* Айырмасын, дифференциялдык жана интегро-дифференциялдык теңдемелерди түшүндүргөн, анын ичинде сингулярдык-кыжырдануучу динамикалык системалары.
 +
* Интегралдык теңдемелер, корректүү эмес жана тескери маселелер.
 +
* Оптимизацияланган экономикалык маселелер.
 +
 
 +
Илимий изилдөөлөрдү компьютерлештирүү, объектилерди интерактивдүү таануу.
 +
 
 +
Изилдөө иштеринде көбүнчө теория жана интегро-дифференцирленген тиркемелерге, интегралдык жана дифференциалдык теңдемелерге, операциялык изилдөөлөргө, айырмачылык жана суммардык-айырмачылык теңдемелерге, математикалык физикага, сызыктуу алгебрага. Кыргызстандын математикадагы көпчүлүк ийгиликтери интегро-дифференциялдык теңдемелер чөйрөсүндө жетишилген. Математик окумуштуулар математикалык илимге билимдүү, жогорку интеллектуалдуу, максатка умтулган жаш адистер келип Кыргызстанды мындан дагы жогорку бийиктиктерге жетишүүгө зор салымын кошооруна ишенишет. 
 +
 
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
{{center-p|[[file:Сухомлинов Георгий Акимович1 .jpg|Сухомлинов Георгий Акимович]]|Сухомлинов Георгий Акимович}}
 +
</li>
 +
<li>
 +
{{center-p|[[file:Быков_Яков_Васильевич1.jpg|Быков Яков Васильевич]]|Быков Яков Васильевич}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|[[file:Иманалиев Муратбек Сансызбаевич1.jpg|Иманалиев Муратбек Сансызбаевич]]|Иманалиев Муратбек Сансызбаевич}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|  [[file:Алтай Асылканович Борубаев.jpg|Алтай Асылканович Борубаев]]|Алтай Асылканович Борубаев}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|    [[file:Жусупбаев Амангельди1.jpg|Жусупбаев Амангельди]]|Жусупбаев Амангельди}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|    [[file:Байзаков_Асан1.jpg|Байзаков_Асан]]|Байзаков_Асан}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
  {{center-p|    [[file:Панков Павел Сергеевич1.jpg|Панков Павел Сергеевич]]|Панков Павел Сергеевич}}
 +
  </li>
 +
</ul>
 +
 
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
 +
 
 +
==Теңдемелер. Теңдемелердин тамыры==
 +
 
 +
Өзгөрүлмөлүү барабарык теңдеме деп аталат.
 +
 
 +
Теңдеменин берилишин туура барабардыкка айландырган өзгөрүлмөнүн ар бир маанисин тендеменин тамыры деп айтабыз. Теңдемени чыгаруу – бул анын баардык тамырларын табуу же алар жок экенин далилдөө. Теңдеме бир, эки, бир нече тамырлардын көптүгүнө ээ болушу мүмкүн же таптакыр ээ эмес болушу да мүмкүн.
 +
 
 +
1-мисал. 5 + x = 15 теңдемеси x = 10 болгон гана учурда 5 + x = 15 туура барабардыкка айланган жападан жалгыз тамырга ээ.
 +
 
 +
2-мисал. (5 + x)(x - 6)=0 теңдемеси -5 жана 6 деген эки тамырга ээ.
 +
 
 +
3-мисал. 9 + x<sup>2</sup> = 0 чыныгы сандардын көптүгүндө эч тамырга ээ эмес.
 +
 
 +
'''Сызыктуу теңдемелер'''
 +
 
 +
Бир х өзгөрүлмөлүү ax = b түрүн сызыктуу теңдеме деп атайбыз, мында a, b –чыныгы сандар; а өзгөрүлмөнүн коэффициенти, b – бош мүчөсү деп аталат.
 +
 
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Для_линейного_уравнения_возможны_случаи.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Формулы_для_решения_уравнений.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
 +
 
 +
'''Теңдеменин тең салмактуулугу'''
 +
 
 +
Бирдей тамырга ээ болгон тендемелерди тең күчтүү тендмелер деп атайбыз. Тамырга ээ болболгон теңдемелер да тең салмакттуу деп аталат.
 +
 
 +
4-мисал. x + 5 = 7  жана  x -  8 = -6 тндемелери тең салмактуу деп аталышат, анткени экөөнүн тең тамырлары 2ге барабар.
 +
 
 +
5-мисал. 9 + x<sup>2</sup> = 0 жана 3x<sup>2</sup> + 27 = 0 эки теңдеменин тең тамырлары болбогондуктан тең салмакттуу болушат.
 +
 
 +
6-мисал. 9 -  x<sup>2</sup> = 0 жана  x + 4 = 7 тең салмактуу болушпайт, анткени биринчисинин тамырлары -3 жана 3, ал эми экинчисиники бир гана 3 деген тамырга ээ.
 +
 
 +
Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болот.
 +
 
 +
1-теорема. Эгерде теңдемеде кайсыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.
 +
 
 +
Мисалы,  x<sup>2</sup> + 4 = 2x  теңдемесине x<sup>2</sup> + 4 - 2x = 0 тендемеси тең күчтүү болот.  
  
−
Аль-Хорезмдин бул укмуш жазылмасынын пайда болушун алгебранын  өз алдынча математиканын башка бөлүгү катары бөлүнүшүнүн башталышы катары кароого болот. “Алгебра”  деген аталыштын өзү ушул “Аль-джебр” дан алынган.
+
2-теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нөлдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.
  
 +
Мисалы, (x-5)/4  =4x    теңдемеси x-5=16x теңдемесине тең күчтүү. Анткени эки тарабына тең 4тү көбөйттүк.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ4.png|500px]]}}</div>
+
Теңдемелердин чыгарылышын мисалдар аркылуу көрөлү.
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ4.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Пример_Решение_уравнений_1_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_уравнений_2_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
  [[file:Пример_Решение_уравнений_3_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ5.png|500px]]}}</div>
+
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ5.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
==Теңдемелер эмне үчүн керек==
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ6.png|500px]]}}</div>
+
Эсептөөчү маселелер түз жана кыйыр түрүндө болот. Биринчисинин чыгарылышына маселенин шарты түрткү кылат, ал эми кыйыр түрүндөгү маселелердин шарты анын чыгарылышына кандай алып бараары белгисиз болот. Мындан арифметикалык аталыштагы чыгарылышты кыйыр түрүндөгү маселелердин чыгарууда чоң чыгармачылыкты талап кылат. Ар бир жаңы маселе жаңыча пландоого алып келет. Эсептөө процессин алып кетүү үчүн негизги предмети болгон алгебраны окуп үйрөнүүдө теңдеменин ыкмасы түзүлгөн. Ошондон улам, теңдемени эсептөө процессин кыймылдатуу керек. Теңдеме түзүлгөндөн соң, анын чыгарылышын автоматтык түрдө дароо алсак болот. Маселени чыгаруунун кыйынчылыгы ал теңдеменин түзүлүшүнө жараша келип чыгат.  
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ6.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
Теңдемени түзүү – бул маселенин белгилүүлөрү менен анын чоңдуктарынын белгисиздери ортосундагы байланышты математикалык формада туюндуруу.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ7.png|500px]]}}</div>
+
Теңдемелердин жардамы менен маселелерди чыгарууну карайлы.
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ7.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
1-маселе. Апасы уулунан эки эсеге улуу. Он жыл мурун ал баласынан үч эсе улуу болчу. Апасы канча жашта?
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ8.png|500px]]}}</div>
+
2-маселе. Үч кутучада 56 калем сап бар. Биринчи кутучадагы калем саптар экинчисине караганда эки эсе, ал эми үчүнчүсүнө караганда 2,5 эсеге көп экендиги белгилүү. Ар бир кутучуда канчадан калем сап бар?
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ8.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
3-маселе. Дарыянын агыбы боюнча теплоход жолду 9 саатта сүзүп өтөт. Агымга каршы 11 саатта. Эгерде дарыянын агымынын ылдамдыгы 2 км/с болсо теплоходдун өзүнүн ылдамдыгын тапкыла.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ9.png|500px]]}}</div>
+
<ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ9.png|500px]]}}</div>
+
    <li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_1_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_2_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_3_кт.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
Решим уравнение:
+
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ10.png|500px]]}}</div>
+
==Пайдалуу шилтемелер==
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ10.png|500px]]}}</div>
+
Теңдемелерди чыгаруу ыкмалары же жолдору алгач жетишээлик деңгээлде татаал жана ар түрдүү мүнөөздүү болгон. Математиканын өнүгүү процессинде алар жетишээлик жөнөкөйлөштүрүлдү жана ар бир түрдөгү теңдемелер үчүн чыгаруунун бирдиктүү алгоримти пайда болду. Кененирээк төмөндө көрсө болот: [Электрондук ресурс] // novykrug YouTube, 2018. URL:https://www.youtube.com/watch?v=WpwOQHVB5s4 (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
  
 +
Математикалык модель – бул реалдуу жашоо кырдаалдарын (маселелерди)  математикалык тилдин жардамы менен түшүндүрүү ыкмасы. Биздин этапта алгебраны окуп-үйрөнүүдөгү маселелерди чыгарууда математикалык моделдөөнү колдонобуз.: .:[Электрондук ресурс] // school-assistant.ru © 2016  URL:  http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model  (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ11.png|500px]]}}</div>
+
Сызыктуу теңдемени колдонуу биздин жашообузда абдан кеңири колдонулат. Алар көптөгөн эсептөөлөрдө, имараттарды курууда жана да спортто да колдонулат. Адам баласы сызыктуу тендемени байыртадан бери колдонуп келүүдө жана азыр да колдонуу деңгээли өсүүдө. Сызыктуу теңдеме өзүнө алгебралык теңдемени түшүндүрүп, көп мүчөлөрдүн толук даражалары бирге барабар болот. Бул теңдемелерди чыгаруунун көптөгөн ыкмалары бар. Бул теңдемелерди чыгарууда өзгөрмөнүн маанисин табуу зарыл.: [Электрондук ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ11.png|500px]]}}</div>
 
  
−
==Полезные ссылки==
+
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
−
Первоначальные способы решения уравнений были достаточно сложными и разнообразными. В процессе развития математики произошло их значительное упрощение, и для каждого типа уравнений появился единый алгоритм решения. Более подробно можете увидеть: https://www.youtube.com/watch?v=WpwOQHVB5s4
 
  
 
==Глоссарий==
 
==Глоссарий==
−
'''Переменные''' - атрибут системы, который меняет свое значение. Они обозначаются буквами, например, х, а, b, с...
+
* '''Алгебра''' – бул ар түрдүү чоңдуктагы жана чыгарылыштагы теңдемелердин үстүнөн болгон амалдардын жана бул амаладарга тиешелүү касиеттерин үйрөтүүчү математиканын бөлүмү.
−
'''Корень уравнения''' - это определенное значение неизвестной, которую находят благодаря решению уравнения.
+
* '''Чыныгы сандар''' (латындан realis — чыныгы) – айлана чөйрөдөгү геометриялык жана физикалык чоңдуктарды ченөө зарылдыгынан келип чыккан, ошондой эле тамырдан чыгаруу, логарифманы эсептөө, алгебралык теңдемелерди чыгаруу, функцияларды изилдөө сыяктуу эсептөөлөрдү жүргүзүүгө арналган математикалык объект.
 +
* '''Квадраттык теңдеме''' – бул ax<sup>2</sup> + bx + c = 0 түрүндөгү теңдеме, мында a, b жана c — коэффициенттери каалагандай сандар, мында a ≠ 0.
 +
 
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
  
 
== Библиография ==
 
== Библиография ==
−
*Видеоурок на тему «Решение уравнений. https://www.youtube.com/watch?v=Nwe2UqXONJ4
+
* Математическая модель. Правила http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model
−
*Видеоурок на тему «Решение уравнений» https://www.youtube.com/watch?v=PI8VHwDgkXc
+
* Основные математические знаки и символы: [Электронный ресурс] // 2013-2018 «SYL.ru»  URL: https://www.syl.ru/article/327248/osnovnyie-matematicheskie-znaki-i-simvolyi (дата обращения: 26. 04. 2018)
−
* Шутки и загадки http://gadaika.ru/shutki/v-kantselyarskom-magazine
+
* Институт математики.:[Электронный ресурс] // 2016-2017  Национальная академия наук КР URL:http://naskr.kg/index.php/ru/struktura-nan-kr/nauchno-issledovatelskie-uchrezhdeniya/institut-matematiki (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
* Линейное Уравнение - Решение С Помощью Онлайн Решателя:[Электронный ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
* Развитие математической науки Кыргызстана:[Электронный ресурс] //2018 © Институт Математики  URL: http://math.aknet.kg/home/science-develop.pdf
 +
* В.А. Гусев, А.Г. Мордкович Математика. Справочные материалы М.: Просвещение, 1988.
 +
* Федин С. Н. Математики тоже шутят. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2012. — 216 с.
  
−
 
+
<div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
−
 
 
−
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div>
 
  
 
</div>
 
</div>
Строка 112: Строка 246:
 
<!-- Sidebar -->
 
<!-- Sidebar -->
 
<div class="large-4 medium-5 columns">
 
<div class="large-4 medium-5 columns">
−
<!-- Первый элемент сайдбара Это интересно или топ5/10/15 -->
+
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
−
<div class="shadow radius sbstyle">
+
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="row">
 
<div class="row">
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">История с уравнениями</div>
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Негизги математикалык белгилер</div>
 
</div>
 
</div>
−
Математика – как высокая винтовая лестница, <br />
+
Кошуу жана кемитүү белгилерин немис математикалык мектебиндеги алгебраистер тарабынан ойлонуп табылган. Алар Иоганн Видмандын (Johannes Widmann) 1489-жылы чыгарылган “Арифметикасында” колдонушкан. Ага чейин кошуу p (plus) тамгасы менен белгиленген же et латын сөзү менен (“жана” союз), а кемитүү m (minus) тамгасы менен белгиленген. Видмандын плюс символу кошууну эле эмес “жана” союзун да өзгөрткөн. Бул белгилердин чыгып келиш таржымалы белгисиз, арийне ал мезгилде бул символдорду же белгилерди соода-сатык иштеринде пайда жана жоготууну белгилешкен экен. Бул эки символ көз ирмемде жарым кылым эски белгини колдонуп келген Италиядан башка Европанын бүт аймагына тез тарап кеткен. 
 +
 
 +
{{center|[[Файл:plus_minus_Vidman.gif]]}}
 +
 
 +
Көбөйтүү белгисин 1631-жылы Уильям Отред (Англия) кыйгач кайчылаш белги түрүндө киргизген. Ага чейин М белгиси колдонулуп келген. XVII кылымдын аягында Лейбниц кайчылаш белгини х белгиси менен чаташтырбоо үчүн чекит менен алмаштырган; буга чейн мындай белги Региомонтанада (XV кылым) жана англия окумуштуусу Томас Хэрриотдо (1560—1621) кездешкен.
 +
 
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Уильям_Отред.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Региомонта́н_(Йоганн_Мюллер).jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
чтобы взойти по ней к вершинам знаний, <br />
+
Бөлүү белгиси. Отред кыйгач сызыкчаны туура көргөн. Кош чекит менен Лейбниц белгилөө жүргүзгөн. Аларга чейин көпчүлүк учурда D тамгасын колдонушкан. Фибоначчиден баштап араб жазылмаларындагыдай бөлчөк сызууну колдонушкан. Англиядан жана АКШда XVII кылымдын орто ченинде Йоханн Ран жана Джон Пеллдер  сунушташкан  ÷ (обелюс) символу тараган.
  
−
надо пройти каждую ступеньку от первой до последней.
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Йоханн_Ран.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Роберт_Рекорд.Мемориальная_доска.jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ12.png|500px]]}}</div>
+
Барабар белгисин (1510—1558) 1557-жылы Роберт Рекорд сунуштаган. Ал дүйнө жүзүндө жарыш түрүндө барабар узундукка ээ болгон башка бир да белги жок деген. Континенталдык Европада барабар белгисин Лейбнциц киргизген.  
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ12.png|500px]]}}</div>
 
  
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Леонард_Эйлер.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Томас_Хэрриот.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Джон_Валлис.jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ13.png|500px]]}}</div>
+
“Барабар эмес” белги алгач жолу Эйлерде кездешкен. Салыштыруу белгисин өзүнүн өлөөр алдындагы 1631-жылы чыгарган жазылмасында көрсөткөндөй Томас Хэрриот киргизген. Ага чейин: чоң, кичине сөздөрү менен жазышкан. Катуу салыштыруу символун Джон Валлис сунуштаган. Алгач сызыкча салыштыруу белгисиненен жогору болуп, а анын астында азыркыдай болгон.     
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ13.png|500px]]}}</div>
+
 
 +
Математика – аны менен билимдин чокусуна чыгуу үчүн анын ар бир кадамын биринчисинен акыркысына чейин басып өтө турган бийик бурамалуу тепкич сыяктанат.  
 +
 
 +
{{center|[[Файл:Джордж_Бернард_Данциг.jpg]]}}
 +
 
 +
Америкалык математик, болочок университеттин аспиарты Джордж Бернард Данциг бир күнү сабакка кечип калып тактада жазылып турган көнүгүүнү үй тапшырма катары кабыл алган. Ал көнүгүү ага татаалдай көрүнгөн, бирок, бир нече күн өткөндөн кийин ал аны чыгарган. Көрсө, ал көп окумуштуулар анын үстүнөн бушайман болушкан статистикага тиешелүү “чыгарылбаган” эки маселени чыгарыптыр. 
  
 
</div>
 
</div>
Строка 135: Строка 307:
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="row">
 
<div class="row">
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Решаем уравнения на Android за 1 секунду</div>
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Androidде 1 секундада теңдемени чыгарабыз </div>
 
</div>
 
</div>
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РЕШАЕМ_УРАВНЕНИЯ_НА_ANDROID_ЗА_1_СЕКУНДУ!.mp4|400px]]}}</div>
+
{{center|[[Файл:РЕШАЕМ_УРАВНЕНИЯ_НА_ANDROID_ЗА_1_СЕКУНДУ!.mp4]]}}
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РЕШАЕМ_УРАВНЕНИЯ_НА_ANDROID_ЗА_1_СЕКУНДУ!.mp4|400px]]}}</div>
 
 
</div>
 
</div>
  
Строка 145: Строка 316:
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="row">
 
<div class="row">
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Задача-Шутка</div>
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Математический софизм</div>
 +
</div>
 +
'''Математикалык амалкөйлүк''' (софизм)  – далилдөөдө байкабаарлыктай жашырылган, жетишээрик чанда кездешкен катасы бар таң калаарлык ырастоо.
 +
                Мартин Гарднер''
 +
 
 +
 
 +
Ар кандай маселелерди талдоо жана чыгаруу менен ой жүгүртүүнү жана логиканы өнүктүрүүгө болот. Математикалык амалкөйлүк дал ушундай маселелерге тиешелүү. Бирок,  математикада тыкандык маанилүү экендигин эстен чыгарбоо керек. Бир логикалык конструкциядан кийинкисине өтүүдөгү ар бир кадамды так даана ойлонуу менен текшерип өтүү зарылдыгы турат. Бир эле туура эмес өтүү жөн эле так эместикке эле эмес, а чоң катачылыкка алып келет.
 +
 
 +
Математикалык амалкөйлүүлүктүн үч түрүн бөлүп карасак болот::
 +
 
 +
1. Арифметикалык
 +
2. Алгебралык
 +
3. Геометриялык
 +
 
 +
1) «Бир сом жүз тыйынга барабар эмес»
 +
 
 +
{{center|[[Файл:1_сом_=_100_тыйын.gif]]}}
 +
 
 +
Эгерде эки тарабы бирдей болгон сандык барабардыкка каалагандай санды көбөйтүп же нөлдөн айырмаланган санга бөлсөк, анда чыныгы сандык барабардык келип чыгат, б.а. эгер a=b, c=d, анда ac=bd.
 +
 
 +
Эки белгилүү болгондой барабардыкты жазабыз:
 +
 
 +
1 сом =100 тыйын (1)
 +
 
 +
10  сом = 10 ∙ 100  тыйын (2)
 +
 
 +
Тиешелүү жактарын көбөйтүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:
 +
 
 +
10 сом =100 000  тыйын (3)
 +
 
 +
Соңунда алынган санды 10го бөлүү менен төмөнкүнү алабыз
 +
 
 +
1 сом  = 10 000 тыйын
 +
 
 +
Ушул мүнөздө, бир сом 100 тыйынга барабар эмес. Катасы кайда?
 +
 
 +
Бул амалкөйлүктө кетирилген ката аталган чоңдуктардагы амалдардын эрежесинин бузулушунда: чоңдуктар менен болгон баардык амалдар алардын өлчөмдөрү менен да жүргүзүлүнүшү керек болот.
 +
 
 +
Чындыгында, (1) менен (2) ни көбөйтүү менен (3) тү алабыз, а 10 бөлгөндөн кийинки барабардык 10 сом =100 000 тыйын, 1 сом = 10 000 тыйын берет. Бул амалкөйлүктүн жазуу шартына туура келет.
 +
 
 +
2) 4 = 5.
 +
 
 +
{{center|[[Файл:4=5.gif]]}}
 +
 
 +
Далилдөө. а = 4 жана b = 5 эки санды алалы алардын жарым сууммасын төмөндөгүчө белгилейбиз с = (а+b)/2.
 +
 
 +
Анда а = 2с- b и 2с - а = b.
 +
 
 +
Бул барабардыктын ар бир мүчөсүн көбөйтүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:
 +
 
 +
а<sup>2</sup> - 2ас = b<sup>2</sup> - 2 bс.
 +
 
 +
Эки тарабына тең с<sup>2</sup> кошуу менен төмөнкү алынат:
 +
 
 +
а<sup>2</sup> - 2ас + с<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> -  2bс + с<sup>2</sup>,
 +
 
 +
же (а - с)<sup>2</sup> = (b - с)<sup>2</sup>.
 +
 
 +
Демек, а – с = b - с, мындан а = 6, б.а. 4 = 5.
 +
 
 +
Бул амалкөйлүктө кетирилген ката: эгерде сандардын квадраты барабар болсо, анда сандардын өздөрү барабар болуусу абзел эмес, алар карама-каршы да болушу мүмкүн. а-с= b-с барабардыгы бул учурда туура эмес, б.а. а-с= b-с же а - с = с – b болушу керек эле.
 +
 
 +
3) «Ширенкенин талы телеграфтык мамычадан эки эсе узун».
 +
 
 +
{{center|[[Файл:Спичка_и_телеграфный_столб.gif]]}}
 +
 
 +
Далилдөө.
 +
 
 +
Мейли а ширенкенин талынын узундугу болсун жана b – мамчанын усундугу. b жана a нын айырмасын c ден белгилейли.
 +
 
 +
b - a = c, b = a + c алабыз
 +
 
 +
Бөлүктөрү боюнча бул барабардыкты көбөйтүү менен: b<sup>2</sup> - ab = ca + c<sup>2</sup> алабыз.
 +
 
 +
Эки тарабынан тең  bc кемитебиз. Жыйынтыгында: b<sup>2</sup>- ab - bc = ca + c<sup>2</sup> - bc, же
 +
 
 +
b(b - a - c) = - c(b - a - c), мындан
 +
 
 +
b = - c, бирок c = b - a, ошондуктан b = a - b, или a = 2b.
 +
 
 +
Катачылыктын негизи болуп бул амалкөйлүктө: b(b-a-c)=-c(b-a-c) барабардыктын туюнтулушу (b - a - c =  с - с = 0) 0 гө бөлгөндөгүсү.
 +
 
 
</div>
 
</div>
  
−
Школьник зашел в лавочку возле школы. На прилавке лежали ручки по 30 рублей за штуку и карандаши по 15 рублей. Мальчик приобрел один карандаш и пошел к выходу, но по дороге подумал: «Я уже отдал продавцу 15 рублей, значит, если вернуть покупку, в сумме на моем счету окажется 30 руб». Сможет ли школьник теперь купить ручку? Почему?
+
{{center|[[Файл:Math-2 kg.jpg]]}}
 +
 
 +
Окуучу мектептин алдындагы дүкөнгө кирип калат. Текчеде 1 даанасы 30 сом турган калем сап жана 15 сомдон калем  турган. Бала 1 калем алып чыга берээрде жолдон ойлонуп: “Мен сатуучуга 15 сом бердим, демек, сатып алганды кайра берсем, менин эсебимде 30 сом болуп калат”. Окуучу бала калем сап сатып ала алабы? Эмне үчүн?
  
 
<div class="mw-customtoggle-Answer resettext" style="background-color:#bbcdff; padding:3px"><h4>Ответ</h4></div><br>
 
<div class="mw-customtoggle-Answer resettext" style="background-color:#bbcdff; padding:3px"><h4>Ответ</h4></div><br>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-Answer">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-Answer">
−
Не сможет.
+
Жообу: Ала албайт.  
  
−
В качестве объяснения приведем небольшую шутку.
+
Түшүндүрүү максатында анча чоң эмес тамаша келтиребиз.
  
−
Студент заказал в кафе булочку, но затем решил, что не слишком голоден и обменял ее на чашечку кофе. Выпив напиток, он направился к выходу, не расплатившись. Cамо собой, за ним побежала буфетчица.
+
Студент кафеден  булочка буюртма берип, соңунда кайра ойлонуп, аябай ачка экенин сезип аны бир чыны кофеге алмаштырды. Ичип бүтүп ал төлөбөстөн эле чыгууга жөнөдү. Аркасынан сатуучу чуркап барды.  
  
−
- Вы не заплатили за кофе!
+
-Сиз кофени төлөбөдүңүз!
  
−
- Да, все верно, но я же взял его взамен булочки!
+
-Ооба туура айтасыз, мен булочканын ордуна албадым беле!
  
−
- Так булка тоже не оплачена!
+
-Булкага дагы төлөнгөн эмессиңер!
 +
 
 +
-Туура, бирок мен аны жеген жокмун да!
  
−
- Верно, но я ведь ее и не ел!
 
 
<br>
 
<br>
 
</div>
 
</div>
  
−
</div>
+
2. Алдыңарда туура эмес барабардык7+4-4=0. Бир ширенкенин талын жылдыруу менен кантип туура болгондой өзгөртөбүз?
−
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
+
 
−
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
+
{{center|[[Файл:Головоломка_со_спичками.gif]]}}
−
<div class="row">
+
 
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Кроссворд и головоломка</div>
+
 
−
</div>
+
'''3. Кроссвордду чыгар'''
 +
 
 +
'''Тигинен'''
 +
 
 +
4. Эки катыштын барабардыгы.
 +
 
 +
5. Теңдеменин коэффициенттери жана алардын тамырлары ортосундагы байланышты орноткон француз математиги.
 +
 
 +
'''Туурасынан'''
 +
 
 +
1. Теңдемедеги өзгөрүлмөнүн маанилери.
 +
 
 +
2. Өзгөрүлмөну камтыган барабардык
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ15.png|400px]]}}</div>
+
3. ax=b түрүндөгү теңдеме
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ15.png|400px]]}}</div>
 
−
<br>
 
−
<div class="mw-customtoggle-CrAnswer resettext" style="background-color:#bbcdff; padding:3px"><h4>Ответ</h4></div><br>
 
−
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-CrAnswer">
 
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Ответ_кроссворда.png|400px]]}}</div>
 
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Ответ_кроссворда.png|400px]]}}</div>
 
−
<br>
 
−
</div>
 
  
 +
4. Теңдемедеги белгисиз сан.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ14.png|400px]]}}</div>
+
{{center|[[Файл:Кроссворд_к_т_.gif]]}}
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:РУ14.png|400px]]}}</div>
 
  
−
<br>
+
<div class="sbstyle">
−
<div class="mw-customtoggle-GAnswer resettext" style="background-color:#bbcdff; padding:3px"><h4>Ответ</h4></div><br>
+
<div class="row">
−
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-GAnswer">
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="margin-top:20px">Тестти өтүңүз</div>
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Ответ_головоломки.png|400px]]}}</div>
+
</div>
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Ответ_головоломки.png|400px]]}}</div>
+
<a href="/docs/Tests/Mathematic/Kyr/Уравнения/res/index.html" class="test_hover" onclick="this.target='_blank'"> <div align="center" class="test_div_hover" style="width:300px; height:auto; float:non; text-indent:0"><span class="test_hover_state"></span> [[file:Corbis.jpg|class=testirovanie|Тестти өтүңүз|link=]]</div></a>
−
<br>
 
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
−
{{lang|Математика: Отношения и пропорции}}
+
 
 +
{{lang|Математика: Решение уравнений}}

Текущая версия на 08:57, 22 октября 2018

Теңдемелердин тарыхынан

                                            Тендемелер мен үчүн маанилүү, 
                                               анткени саясат – азыркы учур үчүн, 
                                               а теңдемелер – түбөлүк үчүн. 
                                             Альберт Эйнштейн.


Эң байыркы математикалык жазылмаларда эле амалдардын жардамы менен чыгарылган мисалдар жана амалдар кездешкен. Мындай Египеттик папируста биздин заманга чейин 2000 жыл мурун ( анда автор Ахмес жазгыч көрсөткөндөй, бул математикалык жазылмалар мындан да байыркы башка жазылмалардын көчүрмөсү) белгисиз санды табууга маселелери болгон. Ал белгисиз «хау» (дөбөчө) деп аталган жана өзгөчө иероглиф менен белгиленген.

Мына ал папирустун мисалдарынын чыгарылыштарынан:

1) «Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду түзөт».

Азыркы кезде бул мисал мындайча жазылат:

  • Примеры старинных задач №1.png
  • Примеры старинных задач №2.png
  • Примеры старинных задач №3.png

2) «2 3.png кошулган жана 1 3.png алынган: калдыгы 10». Папируста маселенин чыгарылышын мындайча түшүнсө болот: белгисизге 2 3.png тү кошуп, андан 1 3.png алынган, келип чыккан суммадан; калдыгы 10; санды табуу керек. Азыркы кезде бул маселе мындайча жазылат: X 2.png ; Жообу: х=9

3) Диофантада дагы бир белгисизи менен амалдар кездешет, мисалы: “20 жана 100 сандары. Бир эле санды эң кичине санга кошуп жана эң чоңунан алуу; сумманын айырмага карата мааниси 4 кө барабар”.

4) Индиялыктардын биздин заманга чейинки VII жана VIII кылымдардагы арифметикалык кол жазмаларында, ал дагы андан дагы байыркы (III-IVкылымдардагы) кол жазманын көчүрмөсү, анда мындай маселе бар:

“Төрт курмандыктын экинчиси биринчиге караганда экиге көп берди, үчүнчүсү экинчиге караганда үчкө көп, төртүнчү үчүнчүдөн төрткө көп, баары биригип 132 беришти. Биринчи канчаны берди?”

Теңдемени жазсак: x+2x+6x+24x=132

Кол жазмаларда бул маселе “жалган абал” ыкмасы менен чыгарылат. (Бул ыкманы Л.Ф.Магницкий өзүнүн “Арифметикасында” пайдаланган.)

“Эгерде биринчи 1ди берсе, анда экинчи 2ни, үчүнчү 6, төртүнчү 24, баары чогуу 33. Бирок баары бирге 132 болчу да, башкача айтканда төрткө көп. Демек, ар бир курмандык төрткө көп беришкен”. Жооп: 4;8;24;96.

Бирок биринчи даражадагы бир белгисизи менен теңдемени чыгаруунун жалпы эрежесин IX кылымда Мухаммед аль-Хорезми берген.

Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги
Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги

Өзүнүн “Аль-джебр жана аль-мукабала” аттуу жазылмаларында ал теңдемени чыгаруудагы колдонулган эки абалды берген:

1) “аль-джебр” абалы, эгерде теңдемеде терс (алынуучулар) мүчөсү болсо, анда аларды теңдеменин эки жагынын тең карама-каршы мүчөлөрүнө кошулат, анда теңдеменин баардык мүчөлөрү оң болот.

2) “аль-мукабала” теңдеменин эки жагынан тең бирдей мүчөсү алынат, бул болсо аны жөнөкөйлөткөнгө алып келет.

Мисалы.

Берилди: 5х-17=2х-5.

“аль-джебрды” пайдалансак: теңдеменин ар бир бөлүгүнө 5 менен 17и кошобуз.

Анда: 5х+5= 2х+17 алабыз.

“аль-мукабала”: Ар бир бөлүктөн 2х менен 5 ти алабыз.

Анда: 3х=12 ни алабыз.

Бул жерден х ти табуу оңой болот x=4.

Башталышына

Кыргызстандагы математикалык илимдин өнүгүүсү

Математика мектепте предмет катары Кыргызстанда Октябрь революциясынан кийин, жогорку математика болсо – Кыргызстанда биринчи ЖОЖ – Кыргыз мамлекеттик педагогикалык институту – азыркы Ж. Баласагын атындагы Кыргыз улуттук университети ачылгандан кийин окутула баштаган.

Кыргызстанда математика боюнча системалуу изилдөө иштери 1940-жылдан тартып семинарда профессор Г. А. Сухомлиновдун жетекчилиги астында жүргүзүлө баштаган. 1949-1965-жылдары семинарларды 1960-жылы Кыргыз ССРдин ИА мүчө-корреспонденти болгон профессор Я. В. Быков жетектеген, 1966-жылдан тартып бул семинарларды жалпы республикалык болуп, Институттун дубалында Кыргыз ССРдин ИА академиги (1979) жана СССРдин ИА (1981) мүчө-корреспонденти М. И. Аманалиев жетекчиликке алган.

1955-жылы Кыргыз ССРдин ИА Президиумунун астында, ал убакта эле илимдин кандидаттары Я. В. Быков жана М.И. Иманалиевдер курамында болушуп, Физика, математика жана механика бөлүмүн түзүшкөн.

1960-жылы Бөлүм Физика, математика жана механика Институту болуп өзгөртүлгөн. 1962-жылы ал Физика жана математика Институту аталып, 1984-жылы Физика жана математика Институтунун базасынын математикалык лабораториясынын базасында Математика институту уюштурулган. 2008-жылы анын базасында Теориялык жана прикладдык математика институту түзүлүп, а 2017-жылы ал КР УИА Математика институту болуп кайра аталган.

1984-жылдан 2016-жылга чейин Институтту М. И. Иманалиев жетектеген, а 2016-жылдан тартып бүгүнкү күнгө чейин академик А. А. Бөрүбаев жетектеп келет. Институттун негизги ишмердүүлүгү төмөнкү илимий изилдөөчүлүк багыттарды аныктайт:

  • Тең калыптагы жана топологиялык тегиздиктер жана алардын чагылдырылышы.
  • Функционалдык мейкиндик.
  • Айырмасын, дифференциялдык жана интегро-дифференциялдык теңдемелерди түшүндүргөн, анын ичинде сингулярдык-кыжырдануучу динамикалык системалары.
  • Интегралдык теңдемелер, корректүү эмес жана тескери маселелер.
  • Оптимизацияланган экономикалык маселелер.

Илимий изилдөөлөрдү компьютерлештирүү, объектилерди интерактивдүү таануу.

Изилдөө иштеринде көбүнчө теория жана интегро-дифференцирленген тиркемелерге, интегралдык жана дифференциалдык теңдемелерге, операциялык изилдөөлөргө, айырмачылык жана суммардык-айырмачылык теңдемелерге, математикалык физикага, сызыктуу алгебрага. Кыргызстандын математикадагы көпчүлүк ийгиликтери интегро-дифференциялдык теңдемелер чөйрөсүндө жетишилген. Математик окумуштуулар математикалык илимге билимдүү, жогорку интеллектуалдуу, максатка умтулган жаш адистер келип Кыргызстанды мындан дагы жогорку бийиктиктерге жетишүүгө зор салымын кошооруна ишенишет.

  • Сухомлинов Георгий Акимович
  • Быков Яков Васильевич
  • Иманалиев Муратбек Сансызбаевич
  • Алтай Асылканович Борубаев
  • Жусупбаев Амангельди
  • Байзаков_Асан
  • Панков Павел Сергеевич
Башталышына

Теңдемелер. Теңдемелердин тамыры

Өзгөрүлмөлүү барабарык теңдеме деп аталат.

Теңдеменин берилишин туура барабардыкка айландырган өзгөрүлмөнүн ар бир маанисин тендеменин тамыры деп айтабыз. Теңдемени чыгаруу – бул анын баардык тамырларын табуу же алар жок экенин далилдөө. Теңдеме бир, эки, бир нече тамырлардын көптүгүнө ээ болушу мүмкүн же таптакыр ээ эмес болушу да мүмкүн.

1-мисал. 5 + x = 15 теңдемеси x = 10 болгон гана учурда 5 + x = 15 туура барабардыкка айланган жападан жалгыз тамырга ээ.

2-мисал. (5 + x)(x - 6)=0 теңдемеси -5 жана 6 деген эки тамырга ээ.

3-мисал. 9 + x2 = 0 чыныгы сандардын көптүгүндө эч тамырга ээ эмес.

Сызыктуу теңдемелер

Бир х өзгөрүлмөлүү ax = b түрүн сызыктуу теңдеме деп атайбыз, мында a, b –чыныгы сандар; а өзгөрүлмөнүн коэффициенти, b – бош мүчөсү деп аталат.

  • Для линейного уравнения возможны случаи.gif
  • Формулы для решения уравнений.gif

Теңдеменин тең салмактуулугу

Бирдей тамырга ээ болгон тендемелерди тең күчтүү тендмелер деп атайбыз. Тамырга ээ болболгон теңдемелер да тең салмакттуу деп аталат.

4-мисал. x + 5 = 7 жана x - 8 = -6 тндемелери тең салмактуу деп аталышат, анткени экөөнүн тең тамырлары 2ге барабар.

5-мисал. 9 + x2 = 0 жана 3x2 + 27 = 0 эки теңдеменин тең тамырлары болбогондуктан тең салмакттуу болушат.

6-мисал. 9 - x2 = 0 жана x + 4 = 7 тең салмактуу болушпайт, анткени биринчисинин тамырлары -3 жана 3, ал эми экинчисиники бир гана 3 деген тамырга ээ.

Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болот.

1-теорема. Эгерде теңдемеде кайсыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.

Мисалы, x2 + 4 = 2x теңдемесине x2 + 4 - 2x = 0 тендемеси тең күчтүү болот.

2-теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нөлдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.

Мисалы, (x-5)/4 =4x теңдемеси x-5=16x теңдемесине тең күчтүү. Анткени эки тарабына тең 4тү көбөйттүк.

Теңдемелердин чыгарылышын мисалдар аркылуу көрөлү.

  • Пример Решение уравнений 1 кт.gif
  • Пример Решение уравнений 2 кт.gif
  • Пример Решение уравнений 3 кт.gif
Башталышына

Теңдемелер эмне үчүн керек

Эсептөөчү маселелер түз жана кыйыр түрүндө болот. Биринчисинин чыгарылышына маселенин шарты түрткү кылат, ал эми кыйыр түрүндөгү маселелердин шарты анын чыгарылышына кандай алып бараары белгисиз болот. Мындан арифметикалык аталыштагы чыгарылышты кыйыр түрүндөгү маселелердин чыгарууда чоң чыгармачылыкты талап кылат. Ар бир жаңы маселе жаңыча пландоого алып келет. Эсептөө процессин алып кетүү үчүн негизги предмети болгон алгебраны окуп үйрөнүүдө теңдеменин ыкмасы түзүлгөн. Ошондон улам, теңдемени эсептөө процессин кыймылдатуу керек. Теңдеме түзүлгөндөн соң, анын чыгарылышын автоматтык түрдө дароо алсак болот. Маселени чыгаруунун кыйынчылыгы ал теңдеменин түзүлүшүнө жараша келип чыгат.

Теңдемени түзүү – бул маселенин белгилүүлөрү менен анын чоңдуктарынын белгисиздери ортосундагы байланышты математикалык формада туюндуруу.

Теңдемелердин жардамы менен маселелерди чыгарууну карайлы.

1-маселе. Апасы уулунан эки эсеге улуу. Он жыл мурун ал баласынан үч эсе улуу болчу. Апасы канча жашта?

2-маселе. Үч кутучада 56 калем сап бар. Биринчи кутучадагы калем саптар экинчисине караганда эки эсе, ал эми үчүнчүсүнө караганда 2,5 эсеге көп экендиги белгилүү. Ар бир кутучуда канчадан калем сап бар?

3-маселе. Дарыянын агыбы боюнча теплоход жолду 9 саатта сүзүп өтөт. Агымга каршы 11 саатта. Эгерде дарыянын агымынын ылдамдыгы 2 км/с болсо теплоходдун өзүнүн ылдамдыгын тапкыла.

  • Пример Решение задач 1 кт.gif
  • Пример Решение задач 2 кт.gif
  • Пример Решение задач 3 кт.gif
Башталышына

Пайдалуу шилтемелер

Теңдемелерди чыгаруу ыкмалары же жолдору алгач жетишээлик деңгээлде татаал жана ар түрдүү мүнөөздүү болгон. Математиканын өнүгүү процессинде алар жетишээлик жөнөкөйлөштүрүлдү жана ар бир түрдөгү теңдемелер үчүн чыгаруунун бирдиктүү алгоримти пайда болду. Кененирээк төмөндө көрсө болот: [Электрондук ресурс] // novykrug YouTube, 2018. URL:https://www.youtube.com/watch?v=WpwOQHVB5s4 (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)

Математикалык модель – бул реалдуу жашоо кырдаалдарын (маселелерди) математикалык тилдин жардамы менен түшүндүрүү ыкмасы. Биздин этапта алгебраны окуп-үйрөнүүдөгү маселелерди чыгарууда математикалык моделдөөнү колдонобуз.: .:[Электрондук ресурс] // school-assistant.ru © 2016 URL: http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)

Сызыктуу теңдемени колдонуу биздин жашообузда абдан кеңири колдонулат. Алар көптөгөн эсептөөлөрдө, имараттарды курууда жана да спортто да колдонулат. Адам баласы сызыктуу тендемени байыртадан бери колдонуп келүүдө жана азыр да колдонуу деңгээли өсүүдө. Сызыктуу теңдеме өзүнө алгебралык теңдемени түшүндүрүп, көп мүчөлөрдүн толук даражалары бирге барабар болот. Бул теңдемелерди чыгаруунун көптөгөн ыкмалары бар. Бул теңдемелерди чыгарууда өзгөрмөнүн маанисин табуу зарыл.: [Электрондук ресурс] // © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)

Башталышына

Глоссарий

  • Алгебра – бул ар түрдүү чоңдуктагы жана чыгарылыштагы теңдемелердин үстүнөн болгон амалдардын жана бул амаладарга тиешелүү касиеттерин үйрөтүүчү математиканын бөлүмү.
  • Чыныгы сандар (латындан realis — чыныгы) – айлана чөйрөдөгү геометриялык жана физикалык чоңдуктарды ченөө зарылдыгынан келип чыккан, ошондой эле тамырдан чыгаруу, логарифманы эсептөө, алгебралык теңдемелерди чыгаруу, функцияларды изилдөө сыяктуу эсептөөлөрдү жүргүзүүгө арналган математикалык объект.
  • Квадраттык теңдеме – бул ax2 + bx + c = 0 түрүндөгү теңдеме, мында a, b жана c — коэффициенттери каалагандай сандар, мында a ≠ 0.
Башталышына

Библиография

Башталышына

Негизги математикалык белгилер

Кошуу жана кемитүү белгилерин немис математикалык мектебиндеги алгебраистер тарабынан ойлонуп табылган. Алар Иоганн Видмандын (Johannes Widmann) 1489-жылы чыгарылган “Арифметикасында” колдонушкан. Ага чейин кошуу p (plus) тамгасы менен белгиленген же et латын сөзү менен (“жана” союз), а кемитүү m (minus) тамгасы менен белгиленген. Видмандын плюс символу кошууну эле эмес “жана” союзун да өзгөрткөн. Бул белгилердин чыгып келиш таржымалы белгисиз, арийне ал мезгилде бул символдорду же белгилерди соода-сатык иштеринде пайда жана жоготууну белгилешкен экен. Бул эки символ көз ирмемде жарым кылым эски белгини колдонуп келген Италиядан башка Европанын бүт аймагына тез тарап кеткен.

Plus minus Vidman.gif

Көбөйтүү белгисин 1631-жылы Уильям Отред (Англия) кыйгач кайчылаш белги түрүндө киргизген. Ага чейин М белгиси колдонулуп келген. XVII кылымдын аягында Лейбниц кайчылаш белгини х белгиси менен чаташтырбоо үчүн чекит менен алмаштырган; буга чейн мындай белги Региомонтанада (XV кылым) жана англия окумуштуусу Томас Хэрриотдо (1560—1621) кездешкен.

  • Уильям Отред.jpg
  • Региомонта́н (Йоганн Мюллер).jpg

Бөлүү белгиси. Отред кыйгач сызыкчаны туура көргөн. Кош чекит менен Лейбниц белгилөө жүргүзгөн. Аларга чейин көпчүлүк учурда D тамгасын колдонушкан. Фибоначчиден баштап араб жазылмаларындагыдай бөлчөк сызууну колдонушкан. Англиядан жана АКШда XVII кылымдын орто ченинде Йоханн Ран жана Джон Пеллдер сунушташкан ÷ (обелюс) символу тараган.

  • Лейбниц, Готфрид Вильгельм.jpg
  • Йоханн Ран.jpg
  • Роберт Рекорд.Мемориальная доска.jpg

Барабар белгисин (1510—1558) 1557-жылы Роберт Рекорд сунуштаган. Ал дүйнө жүзүндө жарыш түрүндө барабар узундукка ээ болгон башка бир да белги жок деген. Континенталдык Европада барабар белгисин Лейбнциц киргизген.

  • Леонард Эйлер.jpg
  • Томас Хэрриот.jpg
  • Джон Валлис.jpg

“Барабар эмес” белги алгач жолу Эйлерде кездешкен. Салыштыруу белгисин өзүнүн өлөөр алдындагы 1631-жылы чыгарган жазылмасында көрсөткөндөй Томас Хэрриот киргизген. Ага чейин: чоң, кичине сөздөрү менен жазышкан. Катуу салыштыруу символун Джон Валлис сунуштаган. Алгач сызыкча салыштыруу белгисиненен жогору болуп, а анын астында азыркыдай болгон.

Математика – аны менен билимдин чокусуна чыгуу үчүн анын ар бир кадамын биринчисинен акыркысына чейин басып өтө турган бийик бурамалуу тепкич сыяктанат.

Джордж Бернард Данциг.jpg

Америкалык математик, болочок университеттин аспиарты Джордж Бернард Данциг бир күнү сабакка кечип калып тактада жазылып турган көнүгүүнү үй тапшырма катары кабыл алган. Ал көнүгүү ага татаалдай көрүнгөн, бирок, бир нече күн өткөндөн кийин ал аны чыгарган. Көрсө, ал көп окумуштуулар анын үстүнөн бушайман болушкан статистикага тиешелүү “чыгарылбаган” эки маселени чыгарыптыр.

Androidде 1 секундада теңдемени чыгарабыз
Математический софизм

Математикалык амалкөйлүк (софизм) – далилдөөдө байкабаарлыктай жашырылган, жетишээрик чанда кездешкен катасы бар таң калаарлык ырастоо. 

                Мартин Гарднер


Ар кандай маселелерди талдоо жана чыгаруу менен ой жүгүртүүнү жана логиканы өнүктүрүүгө болот. Математикалык амалкөйлүк дал ушундай маселелерге тиешелүү. Бирок, математикада тыкандык маанилүү экендигин эстен чыгарбоо керек. Бир логикалык конструкциядан кийинкисине өтүүдөгү ар бир кадамды так даана ойлонуу менен текшерип өтүү зарылдыгы турат. Бир эле туура эмес өтүү жөн эле так эместикке эле эмес, а чоң катачылыкка алып келет.

Математикалык амалкөйлүүлүктүн үч түрүн бөлүп карасак болот::

1. Арифметикалык 2. Алгебралык 3. Геометриялык

1) «Бир сом жүз тыйынга барабар эмес»

1 сом = 100 тыйын.gif

Эгерде эки тарабы бирдей болгон сандык барабардыкка каалагандай санды көбөйтүп же нөлдөн айырмаланган санга бөлсөк, анда чыныгы сандык барабардык келип чыгат, б.а. эгер a=b, c=d, анда ac=bd.

Эки белгилүү болгондой барабардыкты жазабыз:

1 сом =100 тыйын (1)

10 сом = 10 ∙ 100 тыйын (2)

Тиешелүү жактарын көбөйтүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:

10 сом =100 000 тыйын (3)

Соңунда алынган санды 10го бөлүү менен төмөнкүнү алабыз

1 сом = 10 000 тыйын

Ушул мүнөздө, бир сом 100 тыйынга барабар эмес. Катасы кайда?

Бул амалкөйлүктө кетирилген ката аталган чоңдуктардагы амалдардын эрежесинин бузулушунда: чоңдуктар менен болгон баардык амалдар алардын өлчөмдөрү менен да жүргүзүлүнүшү керек болот.

Чындыгында, (1) менен (2) ни көбөйтүү менен (3) тү алабыз, а 10 бөлгөндөн кийинки барабардык 10 сом =100 000 тыйын, 1 сом = 10 000 тыйын берет. Бул амалкөйлүктүн жазуу шартына туура келет.

2) 4 = 5.

4=5.gif

Далилдөө. а = 4 жана b = 5 эки санды алалы алардын жарым сууммасын төмөндөгүчө белгилейбиз с = (а+b)/2.

Анда а = 2с- b и 2с - а = b.

Бул барабардыктын ар бир мүчөсүн көбөйтүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:

а2 - 2ас = b2 - 2 bс.

Эки тарабына тең с2 кошуу менен төмөнкү алынат:

а2 - 2ас + с2 = b2 - 2bс + с2,

же (а - с)2 = (b - с)2.

Демек, а – с = b - с, мындан а = 6, б.а. 4 = 5.

Бул амалкөйлүктө кетирилген ката: эгерде сандардын квадраты барабар болсо, анда сандардын өздөрү барабар болуусу абзел эмес, алар карама-каршы да болушу мүмкүн. а-с= b-с барабардыгы бул учурда туура эмес, б.а. а-с= b-с же а - с = с – b болушу керек эле.

3) «Ширенкенин талы телеграфтык мамычадан эки эсе узун».

Спичка и телеграфный столб.gif

Далилдөө.

Мейли а ширенкенин талынын узундугу болсун жана b – мамчанын усундугу. b жана a нын айырмасын c ден белгилейли. 

b - a = c, b = a + c алабыз

Бөлүктөрү боюнча бул барабардыкты көбөйтүү менен: b2 - ab = ca + c2 алабыз.

Эки тарабынан тең bc кемитебиз. Жыйынтыгында: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, же

b(b - a - c) = - c(b - a - c), мындан

b = - c, бирок c = b - a, ошондуктан b = a - b, или a = 2b.

Катачылыктын негизи болуп бул амалкөйлүктө: b(b-a-c)=-c(b-a-c) барабардыктын туюнтулушу (b - a - c = с - с = 0) 0 гө бөлгөндөгүсү.

Math-2 kg.jpg

Окуучу мектептин алдындагы дүкөнгө кирип калат. Текчеде 1 даанасы 30 сом турган калем сап жана 15 сомдон калем турган. Бала 1 калем алып чыга берээрде жолдон ойлонуп: “Мен сатуучуга 15 сом бердим, демек, сатып алганды кайра берсем, менин эсебимде 30 сом болуп калат”. Окуучу бала калем сап сатып ала алабы? Эмне үчүн?

Ответ


Жообу: Ала албайт.

Түшүндүрүү максатында анча чоң эмес тамаша келтиребиз.

Студент кафеден булочка буюртма берип, соңунда кайра ойлонуп, аябай ачка экенин сезип аны бир чыны кофеге алмаштырды. Ичип бүтүп ал төлөбөстөн эле чыгууга жөнөдү. Аркасынан сатуучу чуркап барды.

-Сиз кофени төлөбөдүңүз!

-Ооба туура айтасыз, мен булочканын ордуна албадым беле!

-Булкага дагы төлөнгөн эмессиңер!

-Туура, бирок мен аны жеген жокмун да!


2. Алдыңарда туура эмес барабардык7+4-4=0. Бир ширенкенин талын жылдыруу менен кантип туура болгондой өзгөртөбүз?

Головоломка со спичками.gif


3. Кроссвордду чыгар

Тигинен

4. Эки катыштын барабардыгы.

5. Теңдеменин коэффициенттери жана алардын тамырлары ортосундагы байланышты орноткон француз математиги.

Туурасынан

1. Теңдемедеги өзгөрүлмөнүн маанилери.

2. Өзгөрүлмөну камтыган барабардык

3. ax=b түрүндөгү теңдеме

4. Теңдемедеги белгисиз сан.

Кроссворд к т .gif
Тестти өтүңүз
Тестти өтүңүз

Источник — «https://bb.edu.gov.kg/index.php?title=KR:Математика:_Теңдемелердин_чыгарылышы&oldid=27439»