БИЛИМ БУЛАГЫ

Основная информация

Впервые интерес к пропорции, возникающей при делении отрезка в крайнем и среднем отношении, возникает в античной науке (Пифагор, Платон, Евклид). Удивительные математические свойства этой пропорции уже тогда создают вокруг нее ореол таинственности и мистического поклонения. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., который буквально означал аналогия, соотношение.

Слово «пропорция» (от латинского propotio) означает «соразмерность», «определённое соотношение частей между собой». В математике: равенство двух отношений. Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно развивалось в IV веке до нашей эры в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, различными ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Принято считать, что понятие о золотом деление ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды, храмов, барельефов, предметов быта и украшений гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создания. Термин золотое сечение ввел Леонардо да Винчи (1452-1519 гг)

Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида (III век до нашей эры). Оно звучит так: «В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних».

Благодаря пропорции, по словам Альберти, « тихим и вольным течением взор, точно скользя по карнизам, по простенкам и по всей наружной и внутренней сторонам здания, будет умножать наслаждение новым наслаждением от сходства и несходства».

Например, 12 : 20 = 3 : 5; a : b = c : d .

Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции; a и d – во второй.

Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции; b и с – во второй.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.

П р и м е р . Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности ) будет равно:

Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.

Пропорцианальность. Это простейший вид функциональной зависимости. Различают прямую пропорциональность. (y = kx) и обратную пропорциональность ( y= k/ x). Напр., путь S, пройденный при равномерном движении со скоростью v, пропорционален времени t, т. е. S = vt ; прямо пропорциональна величина основания y прямоугольника с заданной площадью a обратно пропорциональна высоте x, т. е. y = a/ x.

Свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Каждому значению х соответствует единственное определенное значение у. (первое свойство прямой пропорциональной зависимости) 2. Отношение соответствующих значений величин у и х, связанных прямой пропорциональностью, равно коэффициенту пропорциональности. 3. Если две величины связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью, то при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Свойства обратной пропорциональной зависимости.

1. Каждому значению х (за исключением х=0) соответствует вполне определенное значение у. 2. Произведение соответствующих значений х и у равно коэффициенту обратной пропорциональности. 3. Если х увеличивается (уменьшается) в несколько раз, то у уменьшается (увеличивается) во столько же раз, так как их произведение остается неизменным.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618 ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.

Применение «золотого сечения».

У древних основу составляла теория пропорций. Отношение размеров частей человеческого тела связывалось с формулой «золотого сечения». Скульпторы утверждают, что талия делит человеческое тело (образцом которого является Апполон Бельведерский) в отношении «золотого сечения». а:х=1,618.

Окружающие предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длинны, близкое к 0,618.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

Полезные ссылки

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления. http://simple-math.ru/arithmetics/ratio-proportion.php

Глоссарий

Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Библиография

• Видеоурок на тему «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti.html
• Видеоурок на тему «Пропорции» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Proportsii.html