БИЛИМ БУЛАГЫ

Математика: Решение уравнений — различия между версиями

 
(не показано 97 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
__NOTOC__
 
 
<div class="row mat-bg">
 
<div class="row mat-bg">
 
<div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content -->  
 
<div class="maintext math-back math-bg large-8 medium-7 columns"> <!-- Page Content -->  
 
{{Якорь|Начало}}
 
{{Якорь|Начало}}
  
 +
==Из истории уравнений==
 +
 +
                                            Уравнения для меня важнее,
 +
                                                потому что политика — для настоящего,
 +
                                                а уравнения — для вечности.
 +
                                                Альберт Эйнштейн
  
 
Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений. Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причем, как указывает в нем автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.
 
Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений. Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причем, как указывает в нем автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.
  
−
Вот примеры задач из этого папируса.
+
Современная запись старинных задач  
 +
 
 +
<ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
 +
    <li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№1.png]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№2.png]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Примеры_старинных_задач_№3.png]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
 
1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».
 
1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».
−
 
−
В современном виде задача запишется так:   
 
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:1_7.png|100px]]}}</div>
 
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:1_7.png|100px]]}}</div>
 
  
 
2) «[[Файл:2_3.png|20px]] сложено и [[Файл:1_3.png|20px]]  отнята: остаток 10».  
 
2) «[[Файл:2_3.png|20px]] сложено и [[Файл:1_3.png|20px]]  отнята: остаток 10».  
−
В папирусе решению, задачу следует понимать так: к неизвестному прибавлено [[Файл:2_3.png|20px]]  его и отнята [[Файл:1_3.png|20px]] полученной суммы; остаток 10; найти число.
+
Судя по приведённому в папирусе решению, задачу следует понимать так: к неизвестному прибавлено [[Файл:2_3.png|20px]]  его и отнята [[Файл:1_3.png|20px]] полученной суммы; остаток 10; найти число.
−
Задача в современном виде запишется так: [[Файл:X_2.png|40px]] ; Ответ:  х=9
+
Ответ:  х=9
  
 
3) У Диофанта также встречаются уравнения с одним неизвестным, например:
 
3) У Диофанта также встречаются уравнения с одним неизвестным, например:
 
«Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к меньшему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4».
 
«Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к меньшему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4».
−
Задача приводит к уравнению: [[Файл:20+x.png|50px]]
 
  
 
4) В индийской рукописной арифметике VII и VIII века нашей эры, являющейся копией с более древней рукописи (III-IV века), имеется такая задача:
 
4) В индийской рукописной арифметике VII и VIII века нашей эры, являющейся копией с более древней рукописи (III-IV века), имеется такая задача:
 +
 
«Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132.
 
«Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132.
 
Сколько дал первый?»
 
Сколько дал первый?»
−
Получаем уравнение:   
+
 
 +
Получаем уравнение:  x+2x+6x+24x=132
 +
 
 
В рукописи задача решается способом «ложного положения». (Этим способом пользовался и Л.Ф. Магницкий в своей «Арифметике».)
 
В рукописи задача решается способом «ложного положения». (Этим способом пользовался и Л.Ф. Магницкий в своей «Арифметике».)
 +
 
«Если бы первый дал 1, то второй бы 2, третий 6, четвертый 24, а все вместе 33. Но всего было 132, то есть вчетверо больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше».
 
«Если бы первый дал 1, то второй бы 2, третий 6, четвертый 24, а все вместе 33. Но всего было 132, то есть вчетверо больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше».
 +
 
Ответ: 4; 8; 24; 96.
 
Ответ: 4; 8; 24; 96.
  
 
Но общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми.
 
Но общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми.
 +
 +
<div class="show-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте]]|Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте}}</div>
 +
<div class="hide-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте]]|Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте}}</div>
 +
 
В своем сочинении «'''Аль-джебр и аль-мукабала'''» он дает два приема, применяемых при решении уравнений.
 
В своем сочинении «'''Аль-джебр и аль-мукабала'''» он дает два приема, применяемых при решении уравнений.
  
Строка 42: Строка 63:
 
Получим:  5х+5=2х+17
 
Получим:  5х+5=2х+17
 
Применим «'''аль-мукабала'''»: вычитаем из каждой части 2x и 5. Получим:  3х=12
 
Применим «'''аль-мукабала'''»: вычитаем из каждой части 2x и 5. Получим:  3х=12
−
Отсюда легко находится х.
+
Отсюда легко находится х. x=4
−
Появление этого замечательного сочинения аль-Хорезми можно считать началом выделения алгебры как самостоятельной, отдельной отрасли математики.
+
 
−
Самое название «алгебра» взято из заглавия этого сочинения («Аль-джебр»).
+
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen.mp4|500px]]}}</div>
 +
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen.mp4|500px]]}}</div>
 +
 
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
 +
 
 +
==Развитие математической науки в Кыргызстане==
 +
Математика как школьный предмет начала изучаться в Кыргызстане только после Октябрьской революции, а высшая математика - после открытия первого в Кыргызстане ВУЗа - Кыргызского государственного педагогического института - ныне Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына.
 +
 
 +
Систематические исследования по математике в Кыргызстане начались в 1940 году, на семинаре под руководством профессора Г.А. Сухомлинова. В 1949-1965 годы семинаром руководил профессор Я.В. Быков, ставший в 1960 году членом-корреспондентом АН Киргизской ССР, с 1966 г. этот семинар, ставший уже общереспубликанским, в стенах Института возглавил М.И. Иманалиев, академик АН Киргизской ССР (1979) и член-корреспондент АН СССР (1981 год).
 +
 
 +
В 1955 году был организован Отдел физики, математики и механики при Президиуме АН Киргизской ССР, в составе которого были, тогда еще кандидаты наук, Я.В. Быков и М.И. Иманалиев.  В 1960 году  Отдел был преобразован в Институт физики, математики и механики. В 1962 году он стал называться Институтом физики и математики, а в 1984 году на базе математических лабораторий Института физики и математики был организован Институт математики.  На его базе в 2008 году был создан Институт теоретической и прикладной математики, а с 11 мая 2017 года он переименован в Институт математики НАН КР.
 +
 
 +
С 1984 года по 2016 год Институтом руководил академик М.И. Иманалиев, с 2016 года по настоящее время руководителем Института является академик А.А. Борубаев.
  
−
'''Основное свойство пропорции:'''  ''Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.'' 
+
Деятельность Института определяется следующими основными направлениями научных исследований:
  
−
''Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.'' 
+
* Равномерные и топологические пространства и их отображения.
 +
* Функциональные пространства.
 +
* Динамические системы, описываемые разностными, дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, в том числе сингулярно-возмущенными.
 +
* Интегральные уравнения, некорректные и обратные задачи.
 +
* Оптимизационные экономические задачи.
 +
* Компьютеризация научных исследований, интерактивное представление объектов.
  
−
П р и м е р . Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности ) будет равно:
+
Особое внимание уделяется исследованию по теории и приложениям интегро-дифференциальных, интегральных и дифференциальных уравнений, операционному исчислению, по разностным и суммарно-разностным уравнениям, математической физике, линейной алгебре. Больших успехов математика Кыргызстана достигла в области интегро-дифференциальных уравнений. Ученые математики надеются, что в математическую науку придут образованные, высокоинтеллектуальные, целеустремленные молодые люди и поднимут престиж математической науки Кыргызстана еще выше.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Плотность_ртути.png|400px]]}}</div>
+
<center>
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Плотность_ртути.png|400px]]}}</div>  
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation: pause_on_hover:true; animation_speed:100; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:2500;" >
−
       
+
  <li class="active">
−
Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.
+
{{center-p|[[file:Сухомлинов Георгий Акимович1 .jpg|Сухомлинов Георгий Акимович]]|Сухомлинов Георгий Акимович}}
 +
</li>
 +
<li>
 +
{{center-p|[[file:Быков_Яков_Васильевич1.jpg|Быков Яков Васильевич]]|Быков Яков Васильевич}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|[[file:Иманалиев Муратбек Сансызбаевич1.jpg|Иманалиев Муратбек Сансызбаевич]]|Иманалиев Муратбек Сансызбаевич}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|  [[file:Алтай Асылканович Борубаев.jpg|Алтай Асылканович Борубаев]]|Алтай Асылканович Борубаев}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|    [[file:Жусупбаев Амангельди1.jpg|Жусупбаев Амангельди]]|Жусупбаев Амангельди}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
{{center-p|   [[file:Байзаков_Асан1.jpg|Байзаков_Асан]]|Байзаков_Асан}}
 +
  </li>
 +
<li>
 +
  {{center-p|    [[file:Панков Павел Сергеевич1.jpg|Панков Павел Сергеевич]]|Панков Павел Сергеевич}}
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
''Пропорциональность''. Это простейший вид функциональной зависимости. Различают прямую пропорциональность. (y = kx) и обратную пропорциональность ( y= k/ x). Напр., путь S, пройденный при равномерном движении со скоростью  v, пропорционален времени  t, т. е.  S = vt ; прямо пропорциональна величина основания  y прямоугольника с заданной площадью  a обратно пропорциональна высоте  x, т. е.  y = a/ x.
+
</center>
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
  
−
'''Свойства прямой пропорциональной зависимости.'''
+
==Уравнение. Корни уравнения==
  
−
1. Каждому значению х соответствует единственное определенное значение у. (''первое свойство прямой пропорциональной зависимости'').
+
Равенство с переменной называют уравнением.
  
−
2. Отношение соответствующих значений величин у и х, связанных прямой пропорциональностью, равно коэффициенту пропорциональности.
+
Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
  
−
3. Если две величины связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью, то при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
+
Пример 1. Уравнение 5 + x = 15 имеет единственный корень x = 10, так как только при этом значении переменной 5 + x = 15 является верным равенством.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Математическая_модель.png|600px]]}}</div>
+
Пример 2.  Уравнение (5 + x)(x - 6)=0 имеет два корня: -5 и 6.
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Математическая_модель.png|600px]]}}</div>
 
  
−
'''Свойства обратной пропорциональной зависимости.'''
+
Пример 3. 9 + x<sup>2</sup> = 0 не имеет корней на множестве вещественных чисел.
  
−
1. Каждому значению х (за исключением х=0) соответствует вполне определенное значение у.
+
'''Линейные уравнения'''
  
−
2. Произведение соответствующих значений х и у равно коэффициенту обратной пропорциональности.
+
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax = b, где a, b –вещественные числа; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.
  
−
3. Если х увеличивается (уменьшается) в несколько раз, то у уменьшается (увеличивается) во столько же раз, так как их произведение остается неизменным.  
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Для_линейного_уравнения_возможны_случаи.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Формулы_для_решения_уравнений.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Обратная_пропорциональность.png|600px]]}}</div>
+
'''Равносильность уравнений'''
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Обратная_пропорциональность.png|600px]]}}</div>
 
  
−
Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.  
+
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Золотое_сечение.png|1000px]]}}</div>
+
Пример 4. Уравнения  x + 5 = 7  и  x - 8 = -6 равносильны, так каждое из них имеет единственный корень, равный 2.
−
<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Золотое_сечение.png|1000px]]}}</div>
 
  
−
Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618  ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.
+
Пример 5.  Уравнения  9 + x<sup>2</sup> = 0 и   3x<sup>2</sup> + 27 = 0 равносильны, так как каждое из них не имеет корней.
−
 
−
Применение «золотого сечения». 
 
  
−
У древних основу составляла теория пропорций. Отношение размеров частей человеческого тела связывалось с формулой «золотого сечения». Скульпторы утверждают, что талия делит человеческое тело (образцом которого является Апполон Бельведерский) в отношении «золотого сечения». а:х=1,618.
+
Пример 6. Уравнения  9 -  x<sup>2</sup> = 0 и    x + 4 = 7  неравносильны, так как первое уравнение имеет два корня: 3 и -3, а второе только один корень: 3.
  
−
Окружающие предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длинны, близкое к 0,618.
+
Когда уравнение решают, его стараются заменить на более простое, равносильное данному. Поэтому необходимо знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Лист_дерева.png|600px]]}}</div>
+
Теорема 1.   Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Лист_дерева.png|600px]]}}</div>
 
  
−
Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).
+
Например, уравнение x<sup>2</sup> + 4 = 2x  равносильно уравнению  x<sup>2</sup> + 4 - 2x = 0.
  
 +
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
 +
 +
Например, уравнение  (x-5)/4  =4x  равносильно уравнению  x-5=16x.Обе части первого уравнения умножили на 4.
 +
 +
Рассмотрим на примерах решение уравнений.
 +
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Пример_Решение_уравнений.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_уравнений_2.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
  [[file:Пример_Решение_уравнений_3.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
 +
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
 +
 +
==Зачем нужны уравнения==
 +
 +
Вычислительные задачи бывают прямые и косвенные. Решение первых диктуется самим условием задачи, а из условия косвенной задачи не видно, какие действия  приведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать процесс вычисления. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически. Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.
 +
 +
Составить уравнение – это значит выразить в математической форме связь между известными задачи и неизвестными ее величинами.
 +
 +
Рассмотрим решение задач с помощью уравнений.
 +
 +
Задача 1. Мама в два раза старше сына. Десять лет назад она была старше сына в три раза. Сколько лет маме?
 +
 +
Задача 2. В трех коробках лежит 56 карандашей. Известно, что в первой коробке их в два раза больше, чем во второй, и в 2,5 раза меньше, чем в третьей  коробке. Сколько карандашей в каждой коробке?
 +
 +
Задача 3. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
 +
 +
<ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
 +
    <li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_1.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_2.gif]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Пример_Решение_задач_3.gif]]
 +
  </li>
 +
</ul>
 +
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
  
 
==Полезные ссылки==
 
==Полезные ссылки==
−
В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления. http://simple-math.ru/arithmetics/ratio-proportion.php
+
Первоначальные способы решения уравнений были достаточно сложными и разнообразными. В процессе развития математики произошло их значительное упрощение, и для каждого типа уравнений появился единый алгоритм решения. Более подробно можете увидеть: [Электронный ресурс] // novykrug  YouTube, 2018. URL:https://www.youtube.com/watch?v=WpwOQHVB5s4  (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
 
 +
Математическая модель - это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. На нашем этапе изучения алгебры мы будем использовать математическое моделирование, как помощь в решении задач.:[Электронный ресурс] // school-assistant.ru © 2016  URL:  http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model  (дата обращения: 28. 04. 2018)
  
 +
Применение линейных уравнений очень распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Линейные уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Линейное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Существует множество способов решения данных уравнений. Чтобы решить уравнения данного рода необходимо найти значение переменной.:[Электронный ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
  
 
==Глоссарий==
 
==Глоссарий==
−
'''Уравнение''' - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.  
+
* Алгебра – это раздел математики, который изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
−
'''Переменные''' - атрибут системы, который меняет свое значение. Они обозначаются буквами, например, х, а, b, с...  
+
* Веще́ственное число (от лат. realis — действительный) — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функци
 +
* Квадратное уравнение  — это уравнение вида ax<sup>2</sup> + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
 +
* Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.
 +
* Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения x<sup>2</sup>+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>=-p;  x<sub>1</sub>∙x<sub>2</sub>=q.
 +
 
 +
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
  
 
== Библиография ==
 
== Библиография ==
−
*Видеоурок на тему «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti.html
+
* Математическая модель. Правила http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model
−
*Видеоурок на тему «Пропорции» http://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Proportsii.html
+
* Основные математические знаки и символы: [Электронный ресурс] // 2013-2018 «SYL.ru»  URL: https://www.syl.ru/article/327248/osnovnyie-matematicheskie-znaki-i-simvolyi (дата обращения: 26. 04. 2018)
 +
* Институт математики.:[Электронный ресурс] // 2016-2017  Национальная академия наук КР  URL:http://naskr.kg/index.php/ru/struktura-nan-kr/nauchno-issledovatelskie-uchrezhdeniya/institut-matematiki (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
* Линейное Уравнение - Решение С Помощью Онлайн Решателя:[Электронный ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru  (дата обращения: 28. 04. 2018)
 +
* Развитие математической науки Кыргызстана:[Электронный ресурс] //2018 © Институт Математики  URL: http://math.aknet.kg/home/science-develop.pdf
 +
* В.А. Гусев, А.Г. Мордкович Математика. Справочные материалы М.: Просвещение, 1988.
 +
* Федин С. Н. Математики тоже шутят. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2012. — 216 с.
  
  
−
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div>
+
<div class="light" style="float:right;>[[#Начало|В начало]]</div><br clear=all />
  
 
</div>
 
</div>
Строка 119: Строка 240:
 
<!-- Sidebar -->
 
<!-- Sidebar -->
 
<div class="large-4 medium-5 columns">
 
<div class="large-4 medium-5 columns">
−
<!-- Первый элемент сайдбара Это интересно или топ5/10/15 -->
+
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
−
<div class="shadow radius sbstyle">
+
<div class="sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="row">
 
<div class="row">
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Это Интересно</div>
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Основные математические знаки</div>
 
</div>
 
</div>
−
<span class="firstcharacter">'''П'''</span><p align="justify">ропорция применяется везде!
+
Знаки плюса и минуса придумали в немецкой математической школе  алгебраистов. Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана (Johannes Widmann), изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов не ясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа практически мгновенно получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция.png|600px]]}}</div>
+
{{center|[[Файл:Plus_minus_Vidman.gif]]}}
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция.png|600px]]}}</div>
 
  
−
Например:
+
Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали букву M. В конце XVII века  Лейбниц заменил крестик на точку, чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).
  
−
'''1. Пропорция в физике.'''
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
 +
  <li class="active">
 +
    [[file:Уильям_Отред.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Региомонта́н_(Йоганн_Мюллер).jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага.
+
Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложили Йоханн Ран и Джон Пелл  в середине XVII века.
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Кошка.png|600px]]}}</div>
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Кошка.png|600px]]}}</div>  
+
  <li class="active">
 +
    [[file:Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Йоханн_Ран.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Роберт_Рекорд.Мемориальная_доска.jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
'''2. Пропорция в географии.'''
+
Знак равенства предложил Роберт Рекорд 1510—1558) в 1557 году. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.
−
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.
 
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_география.png|600px]]}}</div>
+
<ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_география.png|600px]]}}</div>  
+
  <li class="active">
 +
    [[file:Леонард_Эйлер.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Томас_Хэрриот.jpg]]
 +
  </li>
 +
<li>
 +
    [[file:Джон_Валлис.jpg]]
 +
  </li>
 +
</ul>
  
−
'''3. Пропорция в музыке.'''
+
Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше. Символы нестрогого сравнения предложил Джон Валлис. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас.
−
Музыкой греки называли ту часть арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки создали и научную теорию. Музыки. Они знали: чем «длиннее» натянутая струна, тем «ниже» получается звук, который она издает; что короткая струна издает высокий звук. Однако у музыкального инструмента не одна, а несколько струн, и для того, чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длина звучащих частей их должна быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя струнами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным образом квинте соответствует отношение 2:3, кварте-отношение 3:4 и т.д.
 
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_музыка.png|600px]]}}</div>
+
Математика – как высокая винтовая лестница, <br />
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_музыка.png|600px]]}}</div>  
 
  
−
'''4. Пропорции в архитектуре'''
+
чтобы взойти по ней к вершинам знаний, <br />
−
Пропорции в архитектуре – это ее внутренняя красота.
 
−
ПАРФЕНОН, храм Афины Парфенос на Акрополе в Афинах, памятник древнегреческой высокой классики. Мраморный дорический периптер с ионическим скульптурным фризом (447-438 до н. э., архитекторы Иктин и Калликрат) замечателен величественной красотой форм и пропорций. Статуи фронтонов, рельефы метоп и фриза (окончены в 432 до н. э.) созданы под руководством Фидия. Разрушен в 1687; частично восстановлен. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618.
 
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_архитектура.png|600px]]}}</div>
+
надо пройти каждую ступеньку от первой до последней.
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_архитектура.png|600px]]}}</div>
 
  
−
'''5. Пропорции в скульптуре.'''
+
{{center|[[Файл:Джордж_Бернард_Данциг.jpg]]}}
−
АПОЛЛОН БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ, статуя Аполлона — мраморная римская копия бронзового оригинала работы древнегреческого скульптора Леохара  (ок. 330-320 до н. э., Музей Пио-Клементино, Ватикан). Название от ватиканского дворца Бельведер, где выставлена статуя. Долгое время считалась вершиной греческого искусства. На рисунке представлена статуя Аполлона Бельведерского, разделенная в отношении (точка С делит отрезок АD, точка В делит отрезок АС)
 
  
−
<div class="show-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_скульптура.png|600px]]}}</div>
+
Американский математик  Джордж Бернард Данциг , будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.
−
<div class="hide-for-large-up">{{right|[[Файл:Пропорция_скульптура.png|600px]]}}</div>
 
  
 +
</div>
  
 
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
 
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="shadow radius sbstyle" style="margin-top:20px;">
 
<div class="row">
 
<div class="row">
−
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Лайфхак</div>
+
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Решаем уравнения на Android за 1 секунду</div>
 
</div>
 
</div>
  
−
Есть у пропорции правило главное<br />
+
{{center|[[Файл:РЕШАЕМ_УРАВНЕНИЯ_НА_ANDROID_ЗА_1_СЕКУНДУ!.mp4]]}}
 +
</div>
 +
 
 +
<!-- четвертый элемент сайдбара лайфхак -->
 +
<div class="sbstyle" style="margin-top:20px;">
 +
<div class="row">
 +
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="background-color:lightgrey;">Математический софизм</div>
 +
</div>
 +
<div class="mw-customtoggle-ppol button17">''' ''Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
 +
                Мартин Гарднер''</div>
  
−
Все его знать и запомнить должны<br />
+
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-ppol">
 +
Разбор и решение разнообразных задач помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке.
  
−
Средние члены умножишь и крайние<br />
+
Выделяют три вида математических софизмов:
  
−
Будут всегда эти числа равны.
+
1. Арифметические
 +
2. Алгебраические
 +
3. Геометрические
  
 +
1) «Один сом не равен ста тыйынам»
 +
 +
{{center|[[Файл:1_сом_=_100_тыйын.gif]]}}
 +
 +
Если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство, т.е  если a=b, c=d, то ac=bd.
 +
 +
Запишем два очевидным равенства:
 +
 +
1 сом =100 тыйынам (1)
 +
 +
10  сом = 10 ∙ 100  тыйын (2)
 +
 +
Перемножив соответствующие части равенств, получим:
 +
 +
10 сом =100 000  тыйын (3)
 +
 +
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
 +
 +
1 сом  = 10 000 тыйын
 +
 +
Таким образом, один сом не равен ста тыйынам. Где ошибка?
 +
 +
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
 +
 +
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 сом =100 000 тыйын, которое после деления на 10 дает 1 сом = 10 000 тыйын, а не равенство 1 сом = 10 000 тыйын, как это записано в условии софизма.
 +
 +
2) 4 = 5.
 +
 +
{{center|[[Файл:4=5.gif]]}}
 +
 +
Доказательство. Возьмем два числа а&nbsp;=&nbsp;4 и b&nbsp;=&nbsp;5, их полусумму обозначим через с&nbsp;=&nbsp;(а+b)/2.
 +
 +
Тогда а = 2с - b и 2с - а = b.
 +
 +
Перемножив эти равенства почленно, получим:
 +
 +
а<sup>2</sup> - 2ас = b<sup>2</sup> - 2 bс.
 +
 +
Прибавив к обеим частям  с<sup>2</sup>, получим:
 +
 +
а<sup>2</sup> - 2ас + с<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> -  2bс + с<sup>2</sup>,
 +
 +
или (а - с)<sup>2</sup> = (b - с)<sup>2</sup>.
 +
 +
Значит, а – с = b - с, откуда а = 6, то есть 4&nbsp;=&nbsp;5.
 +
 +
Ошибка, допущенная в этом софизме: если квадраты чисел равны, то сами числа не обязательно равны, они могут быть и противоположными. Равенство а&nbsp;-&nbsp;с&nbsp;=&nbsp;b&nbsp;-&nbsp;с в данном случае неверно, должно быть а&nbsp;-&nbsp;с&nbsp;=&nbsp;b&nbsp;-&nbsp;с или а&nbsp;-&nbsp;с&nbsp;=&nbsp;с&nbsp;-&nbsp;b.
 +
 +
3) «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».
 +
 +
{{center|[[Файл:Спичка_и_телеграфный_столб.gif]]}}
 +
 +
Доказательство.
 +
 +
Пусть а длина спички и b - длина столба. Разность между b и a обозначим через c.
 +
 +
Имеем, b - a = c, b = a + c.
 +
 +
Перемножим два этих равенства по частям, находим: b<sup>2</sup> - ab = ca + c<sup>2</sup>.
 +
 +
Вычтем из обеих частей bc. Получим: b<sup>2</sup>- ab - bc = ca + c<sup>2</sup> - bc, или
 +
 +
b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда
 +
 +
b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
 +
 +
Ошибка заключается в том, что в равенстве выражений b(b-a-c )=-c(b-a-c) производится деление на 0 (b - a - c =  с - с = 0).
 +
 +
</div>
 +
{{center|[[Файл:Головоломки.jpg]]}}
 +
 +
Школьник зашел в лавочку возле школы. На прилавке лежали ручки по 30 рублей за штуку и карандаши по 15 рублей. Мальчик приобрел один карандаш и пошел к выходу, но по дороге подумал: «Я уже отдал продавцу 15 рублей, значит, если вернуть покупку, в сумме на моем счету окажется 30 руб». Сможет ли школьник теперь купить ручку? Почему?
 +
 +
<div class="mw-customtoggle-Answer resettext" style="background-color:#bbcdff; padding:3px"><h4>Ответ</h4></div><br>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-Answer">
 +
Не сможет.
 +
 +
В качестве объяснения приведем небольшую шутку.
 +
 +
Студент заказал в кафе булочку, но затем решил, что не слишком голоден и обменял ее на чашечку кофе. Выпив напиток, он направился к выходу, не расплатившись. Cамо собой, за ним побежала буфетчица.
 +
 +
- Вы не заплатили за кофе!
 +
 +
- Да, все верно, но я же взял его взамен булочки!
 +
 +
- Так булка тоже не оплачена!
 +
 +
- Верно, но я ведь ее и не ел!
 +
<br>
 
</div>
 
</div>
  
 +
 +
2. Перед вами неверное неравенство 7+4-4=0.Как, переложив одну спичку, сделать его правильным?
 +
 +
{{center|[[Файл:Головоломка_со_спичками.gif]]}}
 +
 +
 +
'''3. Реши кроссворд.'''
 +
 +
'''По горизонтали.'''
 +
 +
4. Равенство двух отношений.
 +
 +
5. Французский математик, который  установил связь между коэффициентами уравнения  и его корнями.
 +
 +
'''По вертикали.'''
 +
 +
1. Значение переменной в уравнении.
 +
 +
2. Равенство, содержащее  переменную.
 +
 +
3. Уравнение вида ax=b.
 +
 +
4. Неизвестное число в уравнении.
 +
 +
{{center|[[Файл:Кроссворд1.gif]]}}
 +
 +
</div>
 +
<div class="sbstyle">
 +
<div class="row">
 +
<div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="margin-top:20px">Пройди тестирование</div>
 +
</div>
 +
 +
</div>
 
</div>
 
</div>
 +
 +
 +
{{lang|:KR:Математика: Теңдемелердин чыгарылышы}}
 +
[[Category:Средняя школа]]
 +
[[Category:Математика]]

Текущая версия на 08:46, 22 октября 2018

Из истории уравнений

                                            Уравнения для меня важнее, 
                                               потому что политика — для настоящего, 
                                               а уравнения — для вечности. 
                                               Альберт Эйнштейн

Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений. Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причем, как указывает в нем автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.

Современная запись старинных задач

  • Примеры старинных задач №1.png
  • Примеры старинных задач №2.png
  • Примеры старинных задач №3.png

1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».

2) «2 3.png сложено и 1 3.png отнята: остаток 10». Судя по приведённому в папирусе решению, задачу следует понимать так: к неизвестному прибавлено 2 3.png его и отнята 1 3.png полученной суммы; остаток 10; найти число. Ответ: х=9

3) У Диофанта также встречаются уравнения с одним неизвестным, например: «Числа 20 и 100. Нужно одно и то же число прибавить к меньшему и вычесть из большего; отношение суммы к разности равно 4».

4) В индийской рукописной арифметике VII и VIII века нашей эры, являющейся копией с более древней рукописи (III-IV века), имеется такая задача:

«Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?»

Получаем уравнение: x+2x+6x+24x=132

В рукописи задача решается способом «ложного положения». (Этим способом пользовался и Л.Ф. Магницкий в своей «Арифметике».)

«Если бы первый дал 1, то второй бы 2, третий 6, четвертый 24, а все вместе 33. Но всего было 132, то есть вчетверо больше. Значит, и каждый из жертвователей дал вчетверо больше».

Ответ: 4; 8; 24; 96.

Но общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми.

Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте
Памятник Аль-Хорезми в Ташкенте

В своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала» он дает два приема, применяемых при решении уравнений.

1) Прием «аль-джебр» заключается в том, что если имеются в уравнении отрицательные (вычитаемые) члены, то следует прибавить противоположные им члены к обеим частям уравнения, и тогда все члены будут положительными.

2) Прием «аль-мукабала» заключается в вычитании из обеих частей уравнения одинаковых членов, что приводит к его упрощению.

Например, дано уравнение: 5х-17=2х-5 Применим «аль-джебр»: прибавляем к каждой части уравнения 5 и 17. Получим: 5х+5=2х+17 Применим «аль-мукабала»: вычитаем из каждой части 2x и 5. Получим: 3х=12 Отсюда легко находится х. x=4

В начало

Развитие математической науки в Кыргызстане

Математика как школьный предмет начала изучаться в Кыргызстане только после Октябрьской революции, а высшая математика - после открытия первого в Кыргызстане ВУЗа - Кыргызского государственного педагогического института - ныне Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына.

Систематические исследования по математике в Кыргызстане начались в 1940 году, на семинаре под руководством профессора Г.А. Сухомлинова. В 1949-1965 годы семинаром руководил профессор Я.В. Быков, ставший в 1960 году членом-корреспондентом АН Киргизской ССР, с 1966 г. этот семинар, ставший уже общереспубликанским, в стенах Института возглавил М.И. Иманалиев, академик АН Киргизской ССР (1979) и член-корреспондент АН СССР (1981 год).

В 1955 году был организован Отдел физики, математики и механики при Президиуме АН Киргизской ССР, в составе которого были, тогда еще кандидаты наук, Я.В. Быков и М.И. Иманалиев. В 1960 году Отдел был преобразован в Институт физики, математики и механики. В 1962 году он стал называться Институтом физики и математики, а в 1984 году на базе математических лабораторий Института физики и математики был организован Институт математики. На его базе в 2008 году был создан Институт теоретической и прикладной математики, а с 11 мая 2017 года он переименован в Институт математики НАН КР.

С 1984 года по 2016 год Институтом руководил академик М.И. Иманалиев, с 2016 года по настоящее время руководителем Института является академик А.А. Борубаев.

Деятельность Института определяется следующими основными направлениями научных исследований:

  • Равномерные и топологические пространства и их отображения.
  • Функциональные пространства.
  • Динамические системы, описываемые разностными, дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, в том числе сингулярно-возмущенными.
  • Интегральные уравнения, некорректные и обратные задачи.
  • Оптимизационные экономические задачи.
  • Компьютеризация научных исследований, интерактивное представление объектов.

Особое внимание уделяется исследованию по теории и приложениям интегро-дифференциальных, интегральных и дифференциальных уравнений, операционному исчислению, по разностным и суммарно-разностным уравнениям, математической физике, линейной алгебре. Больших успехов математика Кыргызстана достигла в области интегро-дифференциальных уравнений. Ученые математики надеются, что в математическую науку придут образованные, высокоинтеллектуальные, целеустремленные молодые люди и поднимут престиж математической науки Кыргызстана еще выше.

  • Сухомлинов Георгий Акимович
  • Быков Яков Васильевич
  • Иманалиев Муратбек Сансызбаевич
  • Алтай Асылканович Борубаев
  • Жусупбаев Амангельди
  • Байзаков_Асан
  • Панков Павел Сергеевич
В начало

Уравнение. Корни уравнения

Равенство с переменной называют уравнением.

Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.

Пример 1. Уравнение 5 + x = 15 имеет единственный корень x = 10, так как только при этом значении переменной 5 + x = 15 является верным равенством.

Пример 2. Уравнение (5 + x)(x - 6)=0 имеет два корня: -5 и 6.

Пример 3. 9 + x2 = 0 не имеет корней на множестве вещественных чисел.

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax = b, где a, b –вещественные числа; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.

  • Для линейного уравнения возможны случаи.gif
  • Формулы для решения уравнений.gif

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней.

Пример 4. Уравнения x + 5 = 7 и x - 8 = -6 равносильны, так каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

Пример 5. Уравнения 9 + x2 = 0 и 3x2 + 27 = 0 равносильны, так как каждое из них не имеет корней.

Пример 6. Уравнения 9 - x2 = 0 и x + 4 = 7 неравносильны, так как первое уравнение имеет два корня: 3 и -3, а второе только один корень: 3.

Когда уравнение решают, его стараются заменить на более простое, равносильное данному. Поэтому необходимо знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x2 + 4 = 2x равносильно уравнению x2 + 4 - 2x = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x-5)/4 =4x равносильно уравнению x-5=16x.Обе части первого уравнения умножили на 4.

Рассмотрим на примерах решение уравнений.

  • Пример Решение уравнений.gif
  • Пример Решение уравнений 2.gif
  • Пример Решение уравнений 3.gif
В начало

Зачем нужны уравнения

Вычислительные задачи бывают прямые и косвенные. Решение первых диктуется самим условием задачи, а из условия косвенной задачи не видно, какие действия приведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать процесс вычисления. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически. Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.

Составить уравнение – это значит выразить в математической форме связь между известными задачи и неизвестными ее величинами.

Рассмотрим решение задач с помощью уравнений.

Задача 1. Мама в два раза старше сына. Десять лет назад она была старше сына в три раза. Сколько лет маме?

Задача 2. В трех коробках лежит 56 карандашей. Известно, что в первой коробке их в два раза больше, чем во второй, и в 2,5 раза меньше, чем в третьей коробке. Сколько карандашей в каждой коробке?

Задача 3. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

  • Пример Решение задач 1.gif
  • Пример Решение задач 2.gif
  • Пример Решение задач 3.gif
В начало

Полезные ссылки

Первоначальные способы решения уравнений были достаточно сложными и разнообразными. В процессе развития математики произошло их значительное упрощение, и для каждого типа уравнений появился единый алгоритм решения. Более подробно можете увидеть: [Электронный ресурс] // novykrug YouTube, 2018. URL:https://www.youtube.com/watch?v=WpwOQHVB5s4 (дата обращения: 28. 04. 2018)

Математическая модель - это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. На нашем этапе изучения алгебры мы будем использовать математическое моделирование, как помощь в решении задач.:[Электронный ресурс] // school-assistant.ru © 2016 URL: http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model (дата обращения: 28. 04. 2018)

Применение линейных уравнений очень распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Линейные уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Линейное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Существует множество способов решения данных уравнений. Чтобы решить уравнения данного рода необходимо найти значение переменной.:[Электронный ресурс] // © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (дата обращения: 28. 04. 2018)

В начало

Глоссарий

  • Алгебра – это раздел математики, который изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
  • Веще́ственное число (от лат. realis — действительный) — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функци
  • Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
  • Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.
  • Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: x1+x2=-p; x1∙x2=q.
В начало

Библиография


В начало

Основные математические знаки

Знаки плюса и минуса придумали в немецкой математической школе алгебраистов. Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана (Johannes Widmann), изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов не ясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа практически мгновенно получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Plus minus Vidman.gif

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали букву M. В конце XVII века Лейбниц заменил крестик на точку, чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).

  • Уильям Отред.jpg
  • Региомонта́н (Йоганн Мюллер).jpg

Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложили Йоханн Ран и Джон Пелл в середине XVII века.

  • Лейбниц, Готфрид Вильгельм.jpg
  • Йоханн Ран.jpg
  • Роберт Рекорд.Мемориальная доска.jpg

Знак равенства предложил Роберт Рекорд 1510—1558) в 1557 году. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.

  • Леонард Эйлер.jpg
  • Томас Хэрриот.jpg
  • Джон Валлис.jpg

Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше. Символы нестрогого сравнения предложил Джон Валлис. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас.

Математика – как высокая винтовая лестница,

чтобы взойти по ней к вершинам знаний,

надо пройти каждую ступеньку от первой до последней.

Джордж Бернард Данциг.jpg

Американский математик Джордж Бернард Данциг , будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

Решаем уравнения на Android за 1 секунду
Математический софизм
' Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Мартин Гарднер

Разбор и решение разнообразных задач помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке.

Выделяют три вида математических софизмов:

1. Арифметические 2. Алгебраические 3. Геометрические

1) «Один сом не равен ста тыйынам»

1 сом = 100 тыйын.gif

Если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство, т.е если a=b, c=d, то ac=bd.

Запишем два очевидным равенства:

1 сом =100 тыйынам (1)

10 сом = 10 ∙ 100 тыйын (2)

Перемножив соответствующие части равенств, получим:

10 сом =100 000 тыйын (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 сом = 10 000 тыйын

Таким образом, один сом не равен ста тыйынам. Где ошибка?

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 сом =100 000 тыйын, которое после деления на 10 дает 1 сом = 10 000 тыйын, а не равенство 1 сом = 10 000 тыйын, как это записано в условии софизма.

2) 4 = 5.

4=5.gif

Доказательство. Возьмем два числа а = 4 и b = 5, их полусумму обозначим через с = (а+b)/2.

Тогда а = 2с - b и 2с - а = b.

Перемножив эти равенства почленно, получим:

а2 - 2ас = b2 - 2 bс.

Прибавив к обеим частям с2, получим:

а2 - 2ас + с2 = b2 - 2bс + с2,

или (а - с)2 = (b - с)2.

Значит, а – с = b - с, откуда а = 6, то есть 4 = 5.

Ошибка, допущенная в этом софизме: если квадраты чисел равны, то сами числа не обязательно равны, они могут быть и противоположными. Равенство а - с = b - с в данном случае неверно, должно быть а - с = b - с или а - с = с - b.

3) «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Спичка и телеграфный столб.gif

Доказательство.

Пусть а длина спички и b - длина столба. Разность между b и a обозначим через c.

Имеем, b - a = c, b = a + c.

Перемножим два этих равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или

b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Ошибка заключается в том, что в равенстве выражений b(b-a-c )=-c(b-a-c) производится деление на 0 (b - a - c = с - с = 0).

Головоломки.jpg

Школьник зашел в лавочку возле школы. На прилавке лежали ручки по 30 рублей за штуку и карандаши по 15 рублей. Мальчик приобрел один карандаш и пошел к выходу, но по дороге подумал: «Я уже отдал продавцу 15 рублей, значит, если вернуть покупку, в сумме на моем счету окажется 30 руб». Сможет ли школьник теперь купить ручку? Почему?

Ответ


Не сможет.

В качестве объяснения приведем небольшую шутку.

Студент заказал в кафе булочку, но затем решил, что не слишком голоден и обменял ее на чашечку кофе. Выпив напиток, он направился к выходу, не расплатившись. Cамо собой, за ним побежала буфетчица.

- Вы не заплатили за кофе!

- Да, все верно, но я же взял его взамен булочки!

- Так булка тоже не оплачена!

- Верно, но я ведь ее и не ел!


2. Перед вами неверное неравенство 7+4-4=0.Как, переложив одну спичку, сделать его правильным?

Головоломка со спичками.gif


3. Реши кроссворд.

По горизонтали.

4. Равенство двух отношений.

5. Французский математик, который установил связь между коэффициентами уравнения и его корнями.

По вертикали.

1. Значение переменной в уравнении.

2. Равенство, содержащее переменную.

3. Уравнение вида ax=b.

4. Неизвестное число в уравнении.

Кроссворд1.gif
Пройди тестирование
Пройди тестирование


Источник — «https://bb.edu.gov.kg/index.php?title=Математика:_Решение_уравнений&oldid=27426»