Математика: Координаты на плоскости
Содержание
История возникновения координат
История возникновения координат и формирование системы координат берет начало в древнем мире, благодаря развитию таких наук как астрономия, география, живопись. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо известные теперь географические координаты: широту и долготу - и обозначить их числами. Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.
Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Говорят, эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650) – того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль из-за отсутствия элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.
Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.
Координаты на плоскости
Проведем две перпендикулярные координатные прямые x и y , которые пересекаются в начале отсчета — точке О. Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
Пусть M - некоторая точка плоскости. Проведем через нее прямую MA, перпендикулярную координатной прямой x, и прямую MB перпендикулярную координатной прямой y. Так как точка A имеет координату 4, а точка B координату 3, то положение точки M определяется парой чисел (4, 3). Эту пару чисел называют координатами точки M. Число 4 называют абсциссой точки M, а число 3 — ординатой точки M. Координатную прямую x называют осью абсцисс, а координатную прямую y — осью ординат. Точку М с абсциссой 4 и ординатой 3 обозначают так: M (4, 3). На первом месте пишут абсциссу точки, а на втором ее ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка N (3, 4), которая тоже изображена на рисунке.
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината, и наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Оси координат разбивают плоскость на четыре части – четверти I, II, III, IV. В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются. В первой четверти они положительны, во второй – абсцисса отрицательна, а ордината положительна, в третьей – абсцисса и ордината отрицательны ,а в четвертой – абсцисса положительна, а ордината отрицательна.
Точки оси х имеют равные нулю ординаты (у=0), а точки оси у – равные нулю абсциссы (х=0). Абсцисса и ордината начала координат равны нулю.
Пример 1 . На координатной плоскости отметьте точки А (1; 3), В (0;-4) , С (-3;-2)
Перпендикулярные прямые
Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
На рисунке изображены прямые a и b, они перпендикулярны друг другу и осям координат. Пишут a⊥b, a⊥Oy, b⊥Ox. Если прямая a⊥b, то, b⊥a. Прямые c и d перпендикулярны друг другу, но не перпендикулярны осям координат. Пишут c⊥d.
Параллельные прямые
Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться. Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными. Пишут AB∥MN. Эту запись читают так: «Прямая AB параллельна прямой MN». Если AB∥MN , то MN∥AB.
Попробуйте самостоятельно решить эти задания. А верность ответов можно проверить с помощью видео, которое идет сразу после примеров.
Пример 2. На координатной плоскости через точку А (-4; 3) проведена прямая, параллельная оси ординат, а через точку В (5; -2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Отметь точку пересечения этих прямых.
Пример 3. Дан прямоугольник ABCD и координаты его вершин А (3; 4), В (-5; 4), С (-5; -3). Отметьте на координатной плоскости вершину D.
Пример 4. Даны точки А (х; 2) и В (3; - 3). Известно, что прямая АВ перпендикулярна оси абсцисс. Найди значение х.
Координаты в нашей жизни
Как могут ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что могут обозначать эти выражения?
Для начала воспользуемся набором приложений Google Карт, с помощью которых можно искать места по географическим координатам, а также определять координаты уже известных точек. Определим географические координаты города Бишкека.
А теперь выполним обратную операцию и узнаем, что скрывается за следующими координатами: 40°30'51.3"N 72°48'57.2"E.
Итак, зная координаты, легко найти расположение нужного объекта. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно. Например, чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще знать и номер квартиры. Верно проложить маршрут передвижения по городу можно с помощью веб-ГИС-технологии, записав в поисковике данного сервиса адрес начальной и конечной точки нашего путешествия.
В билете на поезд указан его номер и место назначения, а также номер вагона и посадочного места. В авиабилете мы также увидим номер рейса, модель самолёта, время вылета и прилёта. Чтобы найти свое место в зале театра или кинотеатра, сначала мы определяем нужный нам ряд, а затем уже свое место.
Почти все хотя бы раз в жизни играли в «морской бой». Игроки скрывают друг от друга расположение своих судов и передают друг другу координаты в надежде обнаружить вражеский корабль, расположение которого определяется парой, состоящей из числа и буквы.
В основе этого метода — создание сети с большим количеством ячеек и сопоставление этой сети длинного списка пар чисел. Именно таким образом мы получаем изображение на экране телевизора. Если взять часть этого изображения и последовательно ее увеличивать, то в результате можно увидеть квадраты. Каждый из этих маленьких квадратиков носит название «пиксель». Чтобы показать изображение, программа присваивает каждому квадратику-пикселю (то есть каждой паре чисел) определенный цвет. Чем больше количество пикселей на единицу площади, то есть чем более плотна применяемая нами сетка, тем лучше изображение.
Использование прямоугольных координат можно обнаружить и в живописи. На одной из гравюр Дюрера изображён способ рисования с натуры через стекло с нанесённой на него квадратной сеткой. Если встать перед окном и, не изменяя точки зрения, обвести на стекле всё, что видно за ним, то полученный рисунок и будет перспективным изображением пространства.
Полезные ссылки
- В книге Льва Генденштейна «Алиса в стране математики» вы снова встретитесь с персонажами всемирно известных сказок Льюиса Кэрролла. Вместе с Алисой вы сможете путешествовать по стране математики: решать увлекательные математические задачи, применяя свое творческое воображение и логическое мышление. В книге содержатся также исторические экскурсы, знакомящие с великими математиками и историей возникновения и развития математики с древности до наших дней. [Электронный ресурс] // ЛитЛайф - литературный клуб URL: https://litlife.club/br/?b=282306 (Дата посещения: 14.04.2018)
- Увлекательная презентация "Система координат" в рамках IV регионального сетевого математического проекта "Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее".: [Электронный ресурс] // ООО CALAMEO URL: https://ru.calameo.com/read/001079152e4dd53000844 (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Если в системе координат разместить несколько точек, в определённом порядке, и соединить их, то получится фигура. А какие фигуры можно построить, смотрим здесь. Системы координат древности: [Электронный ресурс] // HintFox 2015 URL: http://www.hintfox.com/article/sistemi-koordinat-drevnosti.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
Глоссарий
1. Числовая ось - прямая, на которой изображаются действительные числа
2. Абсцисса - лат. abscissa-отсекаемый (отрезок на оси иксов).
3. Ордината - лат. ordinatus – упорядоченный.
4. Координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости .
5. Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
6. Симметрия — слово греческого происхождения, означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей.
7. Веб-картография - это область компьютерных технологий связанная с доставкой пространственных данных конечному пользователю.
Библиография
- Веб-ГИС (Компьютерра, 749, 2008): [Электронный ресурс] // GIS-Lab и авторы, 2002-2018 URL: http://gis-lab.info/qa/webgis.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Гравюры Дюрера:[Электронный ресурс] // Gallerix 2009 - 2018. URL: https://gallerix.ru/storeroom/1780068273/ (Дата посещения: 14.04.2018)
- Лев Генденштейн «Алиса в стране математики»: [Электронный ресурс] // ЛитЛайф - литературный клуб URL: https://litlife.club/br/?b=282306 (Дата посещения: 14.04.2018)
- Координаты в повседневной жизни:[Электронный ресурс] //Математика, решение онлайн!!! 2018. URL: https://matemonline.com/2013/08/koordinaty-v-povsednevnoj-gizni/ (Дата посещения: 14.04.2018)
- Осевая и центральная симметрия: [Электронный ресурс] // ООО ЯКласс 2018. URL: http://www.yaklass.ru/p/matematika/6-klass/geometricheskie-figury-i-tela-simmetriia-na-ploskosti-13781/osevaia-i-tcentralnaia-simmetriia-14716/re-e5fbbd9b-0519-4f8d-88ee-4bdcfa44b87b (Дата посещения: 14.04.2018)
- Системы координат, применяемые в геодезии и топографии: [Электронный ресурс] // «ФБ», 2017 URL: http://fb.ru/article/352671/sistemyi-koordinat-primenyaemyie-v-geodezii-i-topografii (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Координаты. Декартова система координат.: [Электронный ресурс] //Calc.ru 2000-2018 URL: https://www.calc.ru/Koordinaty-Dekartova-Sistema-Koordinat.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
- "Система координат" в рамках IV регионального сетевого математического проекта "Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее".: [Электронный ресурс] // ООО CALAMEO URL: https://ru.calameo.com/read/001079152e4dd53000844 (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Системы координат древности: [Электронный ресурс] // HintFox 2015 URL: http://www.hintfox.com/article/sistemi-koordinat-drevnosti.html (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Карта Бишкека: [Электронный ресурс] //OpenStreetMap contributors, API 2GIS URL: https://2gis.kg/bishkek (дата обращения: 16. 04. 2018)
- Гугл карты:[Электронный ресурс] // Google 2018. URL: https://www.google.ru/maps/@26.4677171,28.1395614,20599069m/data=!3m1!1e3 (дата обращения: 16. 04. 2018)
- В.А. Гусев, А.Г. Мордкович Математика. Справочные материалы М.: Просвещение, 1988.
Суть задания заключается в том, чтобы по заданным координатам точек построить на координатной плоскости некоторое изображение. При этом построенные точки, как правило, последовательно соединяют плавной линией.
Отметьте на координатной плоскости точки: (0;-9), (0;-5), (0;-1), (0;2), (0;4), (0;9), (1;-3), (1;0), (1;2), (1;3), (1;4), (1;9), (2;-4), (2;-2), (2;3), (3;-10,5), (3;-9), (3;- 3), (3;0), (3;2), (3;5), (4;-7), (4;3), (4;4), (4;8), (5;-9), (5;-8), (5;-5), (5;-3), (5;1), (5;7), (5;8), (5;9), (6;-7), (6;3), (6;5), (6;8), (7;-8), (7;9), (8;-7), (8;8), (9;-8), (9;-6), (9;-3), (11,-7). Достройте фигуру, учитывая, что она симметрична относительно оси ординат.
А еще систему координат применяют:
Все встают из-за парт. На экране появляются координаты точек. Если точка принадлежит первой четверти, ребята должны потянуться. Если второй – наклониться вперед. Третьей – руки в стороны. Четвертой – сделать «восьмерку» сцепленными руками. Если точка находится на оси – хлопнуть в ладоши.
Небылица о случае, который произошел с Декартом и подсказал ему идею координат:
Однажды в незнакомый город
Приехал молодой Декарт.
Его ужасно мучил голод.
Стоял промозглый месяц март.
Решил к прохожей обратиться
Декарт, пытаясь, дрожь унять:
Где тут гостиница, скажите?
И дама стала объяснять:
– Идите до молочной лавки,
Потом до булочной, за ней
Цыганка продает булавки
И яд для крыс и для мышей,
А дальше будут магазины,
Найдете в них наверняка
Сыры, бисквиты, фрукты
И разноцветные шелка…
Все объяснения эти слушал
Декарт, от холода дрожа.
Ему хотелось очень кушать,
Но звонкий голос продолжал:
– За магазинами – аптека
(аптекарь там – усатый швед),
И церковь, где в начале века
Венчался, кажется, мой дед…
Когда на миг умолкла дама, Вдруг произнес ее слуга:
– Идите три квартала прямо
И два направо. Вход с угла.
Лев Генденштейн
