KR:Математика: Теңдемелердин чыгарылышы - История изменений

Admine2 в 08:57, 22 октября 2018

2018-10-22T08:57:35Z

Msu05 в 15:00, 3 сентября 2018

2018-09-03T15:00:30Z

Admine2: /* Библиография */

2018-08-23T13:44:17Z

‎Библиография

Admine2: /* Библиография */

2018-08-23T13:43:18Z

‎Библиография

Admine2: /* Библиография */

2018-08-23T13:42:48Z

‎Библиография

Admine2: /* Библиография */

2018-08-23T13:41:52Z

‎Библиография

Azim в 05:52, 19 августа 2018

2018-08-19T05:52:52Z

Azim: /* Пайдалуу шилтемелер */

2018-08-07T12:19:54Z

‎Пайдалуу шилтемелер

Azim: /* Теңдемелер эмне үчүн керек */

2018-08-07T12:18:25Z

‎Теңдемелер эмне үчүн керек

Azim: /* Теңдемелер. Теңдемелердин тамыры */

2018-08-07T12:16:16Z

‎Теңдемелер. Теңдемелердин тамыры

@@ Строка 452: / Строка 452: @@
 <div class="large-10 small-10 large-centered small-centered columns rubric" style="margin-top:20px">Тестти өтүңүз</div>
 </div>
-<a href="/mediawiki/docs/Tests/Mathematic/Kyr/Уравнения/res/index.html" class="test_hover" onclick="this.target='_blank'"> <div align="center" class="test_div_hover" style="width:300px; height:auto; float:non; text-indent:0"><span class="test_hover_state"></span> [[file:Corbis.jpg|class=testirovanie|Тестти өтүңүз|link=]]</div></a>
+<a href="/docs/Tests/Mathematic/Kyr/Уравнения/res/index.html" class="test_hover" onclick="this.target='_blank'"> <div align="center" class="test_div_hover" style="width:300px; height:auto; float:non; text-indent:0"><span class="test_hover_state"></span> [[file:Corbis.jpg|class=testirovanie|Тестти өтүңүз|link=]]</div></a>
 </div>
 </div>

@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 <ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
      <li>
-     [[file:Примеры_старинных_задач_№1.png|400px]]
+     [[file:Примеры_старинных_задач_№1.png]]
    </li>
 <li>
-     [[file:Примеры_старинных_задач_№2.png|400px]]
+     [[file:Примеры_старинных_задач_№2.png]]
    </li>
 <li>
-     [[file:Примеры_старинных_задач_№3.png|400px]]
+     [[file:Примеры_старинных_задач_№3.png]]
    </li>
 </ul>
@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 Бирок биринчи даражадагы бир белгисизи менен теңдемени  чыгаруунун жалпы эрежесин IX кылымда Мухаммед аль-Хорезми берген.
-<div class="show-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Памятник_Ал_Хорезми_в_Ташкенте.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
+<div class="show-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
-<div class="hide-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Памятник_Ал_Хорезми_в_Ташкенте.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
+<div class="hide-for-large-up">{{right-p|[[Файл:Al_horezmi_Tashkent.jpg|400px|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги]]|Ташкент шаарындагы Аль-Хорезминин эстелиги}}</div>
 Өзүнүн “Аль-джебр жана аль-мукабала” аттуу жазылмаларында ал теңдемени чыгаруудагы колдонулган эки абалды берген:
@@ Строка 73: / Строка 73: @@
 Бул жерден х ти табуу оңой болот x=4.
-<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Важнейшие_факты_из_истории_уравнений_—_к._т..mp4|500px]]}}</div>
+<div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen_kyrg.mp4|500px]]}}</div>
-<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Важнейшие_факты_из_истории_уравнений_—_к._т..mp4|500px]]}}</div>
+<div class="hide-for-large-up">{{center|[[Файл:Iz_istorii_uravnen_kyrg.mp4|500px]]}}</div>
 <div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />
@@ Строка 144: / Строка 144: @@
 <ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
    <li class="active">
-     [[file:Для_линейного_уравнения_возможны_случаи.gif|300px]]
+     [[file:Для_линейного_уравнения_возможны_случаи.gif]]
    </li>
   <li>
-      [[file:Формулы_для_решения_уравнений.gif|300px]]
+      [[file:Формулы_для_решения_уравнений.gif]]
    </li>
 </ul>
@@ Строка 175: / Строка 175: @@
 <ul class=" example-orbit" data-orbit="" data-options="animation:slide; pause_on_hover:true; animation_speed:500; navigation_arrows:true; resume_on_mouseout: true; timer_speed:4500;" >
    <li class="active">
-     [[file:Пример_Решение_уравнений_1_кт.gif|300px]]
+     [[file:Пример_Решение_уравнений_1_кт.gif]]
    </li>
   <li>
-      [[file:Пример_Решение_уравнений_2_кт.gif|300px]]
+      [[file:Пример_Решение_уравнений_2_кт.gif]]
    </li>
   <li>
-    [[file:Пример_Решение_уравнений_3_кт.gif|300px]]
+    [[file:Пример_Решение_уравнений_3_кт.gif]]
    </li>
 </ul>
@@ Строка 203: / Строка 203: @@
 <ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">
      <li>
-     [[file:Пример_Решение_задач_1_кт.gif|400px]]
+     [[file:Пример_Решение_задач_1_кт.gif]]
    </li>
 <li>
-     [[file:Пример_Решение_задач_2_кт.gif|400px]]
+     [[file:Пример_Решение_задач_2_кт.gif]]
    </li>
 <li>
-     [[file:Пример_Решение_задач_3_кт.gif|400px]]
+     [[file:Пример_Решение_задач_3_кт.gif]]
    </li>
 </ul>
@@ Строка 253: / Строка 253: @@
 Кошуу жана кемитүү белгилерин немис математикалык мектебиндеги алгебраистер тарабынан ойлонуп табылган. Алар Иоганн Видмандын (Johannes Widmann) 1489-жылы чыгарылган “Арифметикасында” колдонушкан. Ага чейин кошуу p (plus) тамгасы менен белгиленген же et латын сөзү менен (“жана” союз), а кемитүү m (minus) тамгасы менен белгиленген. Видмандын плюс символу кошууну эле эмес “жана” союзун да өзгөрткөн. Бул белгилердин чыгып келиш таржымалы белгисиз, арийне ал мезгилде бул символдорду же белгилерди соода-сатык иштеринде пайда жана жоготууну белгилешкен экен. Бул эки символ көз ирмемде жарым кылым эски белгини колдонуп келген Италиядан башка Европанын бүт аймагына тез тарап кеткен.
-{{center|[[Файл:Первое_появление_знаков_«плюс»_и_«минус»._Страница_из_книги_Иоганна_Видмана..gif]]}}
+{{center|[[Файл:plus_minus_Vidman.gif]]}}
 Көбөйтүү белгисин 1631-жылы Уильям Отред (Англия) кыйгач кайчылаш белги түрүндө киргизген. Ага чейин М белгиси колдонулуп келген. XVII кылымдын аягында Лейбниц кайчылаш белгини х белгиси менен чаташтырбоо үчүн чекит менен алмаштырган; буга чейн мындай белги Региомонтанада (XV кылым) жана англия окумуштуусу Томас Хэрриотдо (1560—1621) кездешкен.

@@ Строка 448: / Строка 448: @@
 {{center|[[Файл:Кроссворд_к_т_.gif]]}}
 <div class="sbstyle">
 <div class="row">
@@ Строка 455: / Строка 453: @@
 </div>
 <a href="/mediawiki/docs/Tests/Mathematic/Kyr/Уравнения/res/index.html" class="test_hover" onclick="this.target='_blank'"> <div align="center" class="test_div_hover" style="width:300px; height:auto; float:non; text-indent:0"><span class="test_hover_state"></span> [[file:Corbis.jpg|class=testirovanie|Тестти өтүңүз|link=]]</div></a>
+</div>
 </div>
 {{lang|Математика: Решение уравнений}}

@@ Строка 448: / Строка 448: @@
 {{center|[[Файл:Кроссворд_к_т_.gif]]}}
-</div>
 </div>
 <div class="sbstyle">

@@ Строка 448: / Строка 448: @@
 {{center|[[Файл:Кроссворд_к_т_.gif]]}}
 </div>
 <div class="sbstyle">
@@ Строка 454: / Строка 455: @@
 </div>
 <a href="/mediawiki/docs/Tests/Mathematic/Kyr/Уравнения/res/index.html" class="test_hover" onclick="this.target='_blank'"> <div align="center" class="test_div_hover" style="width:300px; height:auto; float:non; text-indent:0"><span class="test_hover_state"></span> [[file:Corbis.jpg|class=testirovanie|Тестти өтүңүз|link=]]</div></a>
-</div>
 </div>
 {{lang|Математика: Решение уравнений}}

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Мына  ал папирустун мисалдарынын чыгарылыштарынан:
-)	«Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду тузөт».
+)	«Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду түзөт».
 Азыркы кезде бул мисал мындайча жазылат:
@@ Строка 71: / Строка 71: @@
 Анда: 3х=12 ни алабыз.
-Бул жерден х ти табуу оңой болот. x=4
+Бул жерден х ти табуу оңой болот x=4.
 <div class="show-for-large-up">{{center|[[Файл:Важнейшие_факты_из_истории_уравнений_—_к._т..mp4|500px]]}}</div>
@@ Строка 81: / Строка 81: @@
 Математика мектепте предмет катары Кыргызстанда Октябрь революциясынан кийин, жогорку математика болсо – Кыргызстанда биринчи ЖОЖ – Кыргыз мамлекеттик педагогикалык институту – азыркы Ж. Баласагын атындагы Кыргыз улуттук университети ачылгандан кийин окутула баштаган.
-Кыргызстанда математика боюнча системалуу изилдөө иштери 1940-ыжлдан тартып семинарда профессор Г. А. Сухомлиновдун жетекчилиги астында жүргүзүлө баштаган. 1949-1965-жылдары семинарларды 1960-жылы Кыргыз ССРдин ИА мүчө-корреспонденти болгон профессор Я. В. Быков жетектеген, 1966-жылдан тартып бул семинарларды жалпы республикалык болуп, Институттун дубалында Кыргыз ССРдин ИА академиги (1979) жана СССРдин ИА (1981) мүчө-корреспонденти М. И. Аманалиев жетекчиликке алган.
+Кыргызстанда математика боюнча системалуу изилдөө иштери 1940-жылдан тартып семинарда профессор Г. А. Сухомлиновдун жетекчилиги астында жүргүзүлө баштаган. 1949-1965-жылдары семинарларды 1960-жылы Кыргыз ССРдин ИА мүчө-корреспонденти болгон профессор Я. В. Быков жетектеген, 1966-жылдан тартып бул семинарларды жалпы республикалык болуп, Институттун дубалында Кыргыз ССРдин ИА академиги (1979) жана СССРдин ИА (1981) мүчө-корреспонденти М. И. Аманалиев жетекчиликке алган.
 -жылы Кыргыз ССРдин ИА Президиумунун астында, ал убакта эле илимдин кандидаттары Я. В. Быков жана М.И. Иманалиевдер курамында болушуп, Физика, математика жана механика бөлүмүн түзүшкөн.
@@ Строка 92: / Строка 92: @@
 * Тең калыптагы жана топологиялык тегиздиктер жана алардын чагылдырылышы.
 * Функционалдык мейкиндик.
-* Айырмасын, дифференциялдык жана интегро-дифференциялдык теңдемелерди түшүндүргөн, анын ичинде сингулярдык-кыжырдануучу динамикалык систкемалары.
+* Айырмасын, дифференциялдык жана интегро-дифференциялдык теңдемелерди түшүндүргөн, анын ичинде сингулярдык-кыжырдануучу динамикалык системалары.
 * Интегралдык теңдемелер, корректүү эмес жана тескери маселелер.
 * Оптимизацияланган экономикалык маселелер.
@@ Строка 161: / Строка 161: @@
 -мисал. 9 -  x<sup>2</sup> = 0 жана  x + 4 = 7 тең салмактуу болушпайт, анткени биринчисинин тамырлары -3 жана 3, ал эми экинчисиники бир гана 3 деген тамырга ээ.
-Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болоорун.
+Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болот.
--теорема. Эгерде теңдемеде кансыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.
+-теорема. Эгерде теңдемеде кайсыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.
 Мисалы,  x<sup>2</sup> + 4 = 2x   теңдемесине x<sup>2</sup> + 4 - 2x = 0 тендемеси тең күчтүү болот.
--теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нолдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.
+-теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нөлдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.
 Мисалы, (x-5)/4  =4x    теңдемеси x-5=16x теңдемесине тең күчтүү. Анткени эки тарабына тең 4тү көбөйттүк.
@@ Строка 294: / Строка 294: @@
   </ul>
-“Барабар эмес” белги алгач жолу Эйлерде кездешкен. Салыштыруу белгисин өзүнун өлөөр алдындагы 1631-жылы чыгарган жазылмасында көрсөткөндөй Томас Хэрриот киргизген. Ага чейин: чоң, кичине сөздөрү менен жазышкан. Катуу салыштыруу символун Джон Валлис сунуштаган. Алгач сызыкча салыштыруу белгисиненен жогору болуп, а анын астында азыркыдай болгон.
+“Барабар эмес” белги алгач жолу Эйлерде кездешкен. Салыштыруу белгисин өзүнүн өлөөр алдындагы 1631-жылы чыгарган жазылмасында көрсөткөндөй Томас Хэрриот киргизген. Ага чейин: чоң, кичине сөздөрү менен жазышкан. Катуу салыштыруу символун Джон Валлис сунуштаган. Алгач сызыкча салыштыруу белгисиненен жогору болуп, а анын астында азыркыдай болгон.
 Математика – аны менен билимдин чокусуна чыгуу үчүн анын ар бир кадамын биринчисинен акыркысына чейин басып өтө турган бийик бурамалуу тепкич сыяктанат.
@@ Строка 322: / Строка 322: @@
-Ар кандай маселелерди талдоо жана чыгаруу менен ой жүгүртүүнү жана логиканы өнүктүрүүгө болот. Математикалык амалкөйлүк дал ушундай маселелерге тиешелүү. Бирок,  математикада тыкандык маанилүү экендигин эстен чыгарбоо керек. Бир логикалык конструкциядан кийинкисине өтүүдөгү ар бир кадамды так даана ойлонуу менен текшеир өтүү зарылдыгы турат. Бир эле туура эмес өтүү жөн эле так эместикке эле эмес, а чоң катачылыкка алып келет.
+Ар кандай маселелерди талдоо жана чыгаруу менен ой жүгүртүүнү жана логиканы өнүктүрүүгө болот. Математикалык амалкөйлүк дал ушундай маселелерге тиешелүү. Бирок,  математикада тыкандык маанилүү экендигин эстен чыгарбоо керек. Бир логикалык конструкциядан кийинкисине өтүүдөгү ар бир кадамды так даана ойлонуу менен текшерип өтүү зарылдыгы турат. Бир эле туура эмес өтүү жөн эле так эместикке эле эмес, а чоң катачылыкка алып келет.
 Математикалык амалкөйлүүлүктүн үч түрүн бөлүп карасак болот::
@@ Строка 336: / Строка 336: @@
 Эгерде эки тарабы бирдей болгон сандык барабардыкка каалагандай санды көбөйтүп же нөлдөн айырмаланган санга бөлсөк, анда чыныгы сандык барабардык келип чыгат, б.а. эгер a=b, c=d, анда ac=bd.
-Запишем два очевидным равенства:
+Эки белгилүү болгондой барабардыкты жазабыз:
 сом =100 тыйын (1)
@@ Строка 378: / Строка 378: @@
 Бул амалкөйлүктө кетирилген ката: эгерде сандардын квадраты барабар болсо, анда сандардын өздөрү барабар болуусу абзел эмес, алар карама-каршы да болушу мүмкүн. а-с= b-с барабардыгы бул учурда туура эмес, б.а. а-с= b-с же а - с = с – b болушу керек эле.
-) «Ширенкенин талы телеграфтык мамычадан экиэсе узун».
+) «Ширенкенин талы телеграфтык мамычадан эки эсе узун».
 {{center|[[Файл:Спичка_и_телеграфный_столб.gif]]}}

@@ Строка 220: / Строка 220: @@
 Математикалык модель – бул реалдуу жашоо кырдаалдарын (маселелерди)  математикалык тилдин жардамы менен түшүндүрүү ыкмасы. Биздин этапта алгебраны окуп-үйрөнүүдөгү маселелерди чыгарууда математикалык моделдөөнү колдонобуз.: .:[Электрондук ресурс] // school-assistant.ru © 2016  URL:  http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=matemat_model  (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
-Сызыктуу теңдемени колдонуу биздин жашообузда абдан кеңири колдонулат. Алар көптөгөн эсептөөлөрдо, имараттарды курууда жана да спортто да колдонулат. Адам баласы сызыктуу тендемени байыртадан бери колдонуп келүүдө жана азыр да колдонуу деңгээли өсүүдө. Сызыктуу теңдеме өзүнө алгебралык теңдемени түшүндүрүп, көп мүчөлөрдүн толук даражалары бирге барабар болот. Бул теңдемелержи чыгаруунун көптөгөн ыкмалары бар. Бул теңдемелерди чыгарууда өзгормөнүн маанисин табуу зарыл.: [Электрондук ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
+Сызыктуу теңдемени колдонуу биздин жашообузда абдан кеңири колдонулат. Алар көптөгөн эсептөөлөрдө, имараттарды курууда жана да спортто да колдонулат. Адам баласы сызыктуу тендемени байыртадан бери колдонуп келүүдө жана азыр да колдонуу деңгээли өсүүдө. Сызыктуу теңдеме өзүнө алгебралык теңдемени түшүндүрүп, көп мүчөлөрдүн толук даражалары бирге барабар болот. Бул теңдемелерди чыгаруунун көптөгөн ыкмалары бар. Бул теңдемелерди чыгарууда өзгөрмөнүн маанисин табуу зарыл.: [Электрондук ресурс] //  © Pocket Teacher. https://pocketteacher.ru/linear-equations-2-ru (кайрылуу датасы: 28. 04. 2018)
 <div class="light" style="float:right;>[[#Башталышы|Башталышына]]</div><br clear=all />

@@ Строка 189: / Строка 189: @@
 ==Теңдемелер эмне үчүн керек==
-Эсептөөчү маселелер түз жана кыйыр түрүндө болот. Биринчисинин чыгарылышына маселенин шарты түрткү кылат, ал эми кыйыр түрүндөгү маселелердин шарты анын чыгарылышына кандай алып бараары белгисиз болот. Мындан арифметикалык аталыштагы чыгарылышты кыйыр түрүндөгү маселелердин чыгарууда чоң чыгармачылыкты талап кылат. Ар бир жаңы маселе жаңыча пландоого алып келет. Эсептөө процессин алып кетүү үчүн негизги предмети болгон алгебраны окуп үйрөнүүдө теңдеменин ыкмасы түзүлгөн. Ошондон улам, теңдемени эсептөө процессин кыймылдатуу керек. Теңдеме түзүлгөндөн соң, анын чыгарылышын атоматтык түрдө дароо алсак болот. Маселени чыгаруунун кыйынчылыгы ал теңдеменин түзүлүшүнө жараша келип чыгат.
+Эсептөөчү маселелер түз жана кыйыр түрүндө болот. Биринчисинин чыгарылышына маселенин шарты түрткү кылат, ал эми кыйыр түрүндөгү маселелердин шарты анын чыгарылышына кандай алып бараары белгисиз болот. Мындан арифметикалык аталыштагы чыгарылышты кыйыр түрүндөгү маселелердин чыгарууда чоң чыгармачылыкты талап кылат. Ар бир жаңы маселе жаңыча пландоого алып келет. Эсептөө процессин алып кетүү үчүн негизги предмети болгон алгебраны окуп үйрөнүүдө теңдеменин ыкмасы түзүлгөн. Ошондон улам, теңдемени эсептөө процессин кыймылдатуу керек. Теңдеме түзүлгөндөн соң, анын чыгарылышын автоматтык түрдө дароо алсак болот. Маселени чыгаруунун кыйынчылыгы ал теңдеменин түзүлүшүнө жараша келип чыгат.
 Теңдемени түзүү – бул маселенин белгилүүлөрү менен анын чоңдуктарынын белгисиздери ортосундагы байланышты математикалык формада туюндуруу.
@@ Строка 197: / Строка 197: @@
 -маселе. Апасы уулунан эки эсеге улуу. Он жыл мурун ал баласынан үч эсе улуу болчу. Апасы канча жашта?
--маселе. Үч кутучада 56 калем сап бар. Биринчи кутучадагы калем саптарэкинчисине караганда эки эсе, ал эми үчүнчүсүнө караганда 2,5 эсеге көп экендиги белгилүү. Ар бир кутучуда канчадан калем сап бар?
+-маселе. Үч кутучада 56 калем сап бар. Биринчи кутучадагы калем саптар экинчисине караганда эки эсе, ал эми үчүнчүсүнө караганда 2,5 эсеге көп экендиги белгилүү. Ар бир кутучуда канчадан калем сап бар?
--маселе. Дарыянын агыбы боюнча теплоход жолду 9 саатта сүзүп өтөт. Агымга каршы 11 саатта. Эгерде дарыянынагымынын ылдамдыгы 2 км/с болсо теплоходдун өзүнүн ылдамдыгын тапкыла.
+-маселе. Дарыянын агыбы боюнча теплоход жолду 9 саатта сүзүп өтөт. Агымга каршы 11 саатта. Эгерде дарыянын агымынын ылдамдыгы 2 км/с болсо теплоходдун өзүнүн ылдамдыгын тапкыла.
 <ul class="large-block-grid-3 small-block-grid-1">

@@ Строка 130: / Строка 130: @@
 Өзгөрүлмөлүү барабарык теңдеме деп аталат.
-Теңдеменин берилишин туура барабардыкка айландырган өзгөрүлмөнүн ар бир маанисин тендеменин тамыры деп айтабыз. Теңдемени чыгаруу – бул анын баардык тамырларын табуу же алар жок экенин далилдөө. Теңдеме бир, эки, бир нече тамырлардын көптүгүнө ээ болушу мүмкүн же тамтакыр ээ эмес болушу да мүмкүн.
+Теңдеменин берилишин туура барабардыкка айландырган өзгөрүлмөнүн ар бир маанисин тендеменин тамыры деп айтабыз. Теңдемени чыгаруу – бул анын баардык тамырларын табуу же алар жок экенин далилдөө. Теңдеме бир, эки, бир нече тамырлардын көптүгүнө ээ болушу мүмкүн же таптакыр ээ эмес болушу да мүмкүн.
 -мисал. 5 + x = 15 теңдемеси x = 10 болгон гана учурда 5 + x = 15 туура барабардыкка айланган жападан жалгыз тамырга ээ.
@@ Строка 161: / Строка 161: @@
 -мисал. 9 -  x<sup>2</sup> = 0 жана  x + 4 = 7 тең салмактуу болушпайт, анткени биринчисинин тамырлары -3 жана 3, ал эми экинчисиники бир гана 3 деген тамырга ээ.
-Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал тндемеге тең салмактуу болоорун.
+Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болоорун.
 -теорема. Эгерде теңдемеде кансыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.
@@ Строка 167: / Строка 167: @@
 Мисалы,  x<sup>2</sup> + 4 = 2x   теңдемесине x<sup>2</sup> + 4 - 2x = 0 тендемеси тең күчтүү болот.
--теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нолдөн айырмаланган санды кобөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.
+-теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нолдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.
 Мисалы, (x-5)/4  =4x    теңдемеси x-5=16x теңдемесине тең күчтүү. Анткени эки тарабына тең 4тү көбөйттүк.